Дано:

t_1=18\,^\circ\text{C}=291 К; \;V_1=2 дм^3=2\cdot10^{-3}\ \text{м}^3; \;m=2{,}2 кг (сосуд с поршнем); \;\rho_\text{ст}=7800\ \text{кг/м}^3; \;\rho_\text{в}=1000\ \text{кг/м}^3; поршень без трения, масса воздуха пренебрежимо мала; давление воздуха в сосуде = внешнему (поршень свободен).

Найти:

t_2 — температуру, ниже которой надо охладить воду, чтобы сосуд утонул.

Решение:

Сосуд держится у поверхности, как поплавок: его удерживает наверху сила Архимеда, а вниз тянет нить и вес. «Объём поплавка», который вытесняет воду, складывается из двух частей — самой стали и пузыря воздуха под поршнем. Чем холоднее вода, тем сильнее воздух сжимается (поршень свободен, давит вода), пузырь усыхает, вытесненный объём падает — и в какой-то момент Архимеда уже не хватает, нить провисает, сосуд тонет.

Поршень свободен, поэтому давление воздуха равно внешнему и при охлаждении почти не меняется — процесс изобарный. Тогда по закону Гей-Люссака объём воздуха пропорционален температуре:

\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{T_2}{T_1}\;\Rightarrow\;V_2=V_1\,\dfrac{T_2}{T_1}.

Сосуд начнёт тонуть, когда сила Архимеда сравняется с весом (нить перестаёт тянуть, T_\text{нити}=0). Архимед действует на полный вытесненный объём — сталь плюс воздух:

\rho_\text{в}\,g\,(V_\text{ст}+V_2)=mg\;\Rightarrow\;V_\text{ст}+V_2=\dfrac{m}{\rho_\text{в}}.

Объём стали V_\text{ст}=\dfrac{m}{\rho_\text{ст}}=\dfrac{2{,}2}{7800}\approx2{,}82\cdot10^{-4}\ \text{м}^3. Тогда нужный объём воздуха:

V_2=\dfrac{m}{\rho_\text{в}}-\dfrac{m}{\rho_\text{ст}}=\dfrac{2{,}2}{1000}-2{,}82\cdot10^{-4}=2{,}2\cdot10^{-3}-0{,}282\cdot10^{-3}=1{,}918\cdot10^{-3}\ \text{м}^3.

Осталось найти температуру через изобару:

T_2=T_1\,\dfrac{V_2}{V_1}=291\cdot\dfrac{1{,}918\cdot10^{-3}}{2{,}0\cdot10^{-3}}=291\cdot0{,}959\approx279\ \text{К}.

Переводим в градусы Цельсия: t_2\approx279-273=6\,^\circ\text{C}.

Итог: воду надо остудить ниже примерно 6\,^\circ\text{C}. Тогда воздушный пузырь под поршнем сожмётся настолько, что общий вытесненный объём перестанет «вытягивать» сосуд, и он осядет на дно.