ID: 00016922
Сосуд с воздухом, отделённым от атмосферы поршнем, поместили в сосуд с водой и прикрепили ко дну кастрюли нитью, не дающей сосуду всплыть на поверхность. Начальная температура воздуха в сосуде и воды в кастрюле $t_1=18\,^\circ\text{C}$. Кастрюлю помещают в холодильник. Ниже какой температуры $t_2$ должна охладиться вода, чтобы сосуд опустился на дно кастрюли? Начальный объём воздуха в сосуде $V_1=2$ дм$^3$. Масса сосуда с поршнем $m=2{,}2$ кг. Сосуд и поршень изготовлены из стали, плотность которой $\rho_\text{ст}=7800\ \text{кг/м}^3$. Поршень может скользить без трения. Считать массу воздуха в сосуде намного меньшей, чем масса сосуда с поршнем.
Источник: ФИПИ
$t_1=18\,^\circ\text{C}=291$ К; $\;V_1=2$ дм$^3=2\cdot10^{-3}\ \text{м}^3$; $\;m=2{,}2$ кг (сосуд с поршнем); $\;\rho_\text{ст}=7800\ \text{кг/м}^3$; $\;\rho_\text{в}=1000\ \text{кг/м}^3$; поршень без трения, масса воздуха пренебрежимо мала; давление воздуха в сосуде $=$ внешнему (поршень свободен).
$t_2$ — температуру, ниже которой надо охладить воду, чтобы сосуд утонул.
Сосуд держится у поверхности, как поплавок: его удерживает наверху сила Архимеда, а вниз тянет нить и вес. «Объём поплавка», который вытесняет воду, складывается из двух частей — самой стали и пузыря воздуха под поршнем. Чем холоднее вода, тем сильнее воздух сжимается (поршень свободен, давит вода), пузырь усыхает, вытесненный объём падает — и в какой-то момент Архимеда уже не хватает, нить провисает, сосуд тонет.
Поршень свободен, поэтому давление воздуха равно внешнему и при охлаждении почти не меняется — процесс изобарный. Тогда по закону Гей-Люссака объём воздуха пропорционален температуре:
$\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{T_2}{T_1}\;\Rightarrow\;V_2=V_1\,\dfrac{T_2}{T_1}.$
Сосуд начнёт тонуть, когда сила Архимеда сравняется с весом (нить перестаёт тянуть, $T_\text{нити}=0$). Архимед действует на полный вытесненный объём — сталь плюс воздух:
$\rho_\text{в}\,g\,(V_\text{ст}+V_2)=mg\;\Rightarrow\;V_\text{ст}+V_2=\dfrac{m}{\rho_\text{в}}.$
Объём стали $V_\text{ст}=\dfrac{m}{\rho_\text{ст}}=\dfrac{2{,}2}{7800}\approx2{,}82\cdot10^{-4}\ \text{м}^3$. Тогда нужный объём воздуха:
$V_2=\dfrac{m}{\rho_\text{в}}-\dfrac{m}{\rho_\text{ст}}=\dfrac{2{,}2}{1000}-2{,}82\cdot10^{-4}=2{,}2\cdot10^{-3}-0{,}282\cdot10^{-3}=1{,}918\cdot10^{-3}\ \text{м}^3.$
Осталось найти температуру через изобару:
$T_2=T_1\,\dfrac{V_2}{V_1}=291\cdot\dfrac{1{,}918\cdot10^{-3}}{2{,}0\cdot10^{-3}}=291\cdot0{,}959\approx279\ \text{К}.$
Переводим в градусы Цельсия: $t_2\approx279-273=6\,^\circ\text{C}$.
Итог: воду надо остудить ниже примерно $6\,^\circ\text{C}$. Тогда воздушный пузырь под поршнем сожмётся настолько, что общий вытесненный объём перестанет «вытягивать» сосуд, и он осядет на дно.
$t_2\approx 6\,^\circ\text{C}$ (точнее, ниже $\approx 6\,^\circ\text{C}$)