ID: 00016921
Горизонтальный хорошо теплопроводящий цилиндр, разделённый подвижными поршнями площадью S=100\ \text{см}^2 на 5 отсеков (№№ 1—5), содержит в них одинаковые количества идеального газа при температуре окружающей среды и под давлениями, равными давлению p_\text{а}=10^5 Па окружающей цилиндр атмосферы. Каждый поршень сдвигается с места, если приложенная к нему горизонтальная сила превышает силу сухого трения F_\text{тр}=2 Н. К самому левому поршню прикладывают горизонтальную силу F, медленно увеличивая её по модулю. Какого значения достигнет F, когда объём газа в самом правом, 5-м отсеке цилиндра уменьшится в n=2 раза? Процессы изменения состояния газов в отсеках цилиндра считать изотермическими.
Источник: ФИПИ
S=100\ \text{см}^2=0{,}01\ \text{м}^2; 5 отсеков с равными порциями газа; начальное давление в каждом p_\text{а}=10^5 Па; \;F_\text{тр}=2 Н на каждый поршень; \;n=2 (во столько раз уменьшился объём газа в 5-м отсеке); процессы изотермические; всего подвижных поршней — 5.
F — силу, приложенную к левому поршню, в момент, когда V_5 уменьшится в 2 раза.
Представь цепочку вагонов, сцепленных «газовыми пружинами», и каждый поршень слегка «прилипает» к стенкам — это сухое трение. Толкаешь крайний слева поршень — давление по цепочке передаётся вправо, но на каждом поршне часть усилия «съедается» трением. Считаем медленно (квазистатически), поэтому всё в равновесии, а трение на каждом поршне как раз равно своему предельному значению F_\text{тр}.
Сначала разберёмся с давлением в 5-м отсеке. Он сжимается изотермически, по закону Бойля — Мариотта p_5 V_5=p_\text{а}V_{5,0}. Объём упал в n=2 раза, значит давление выросло во столько же:
p_5=n\,p_\text{а}=2\cdot10^5\ \text{Па}.
Теперь «идём» от 5-го отсека к левому поршню. На каждом поршне между соседними отсеками равновесие: газ слева давит сильнее газа справа ровно на величину трения, отнесённого к площади. То есть p_{i}=p_{i+1}+\dfrac{F_\text{тр}}{S}. Перебирая поршни между отсеками (их четыре — между 1-2, 2-3, 3-4, 4-5):
p_4=p_5+\dfrac{F_\text{тр}}{S},\quad p_3=p_5+\dfrac{2F_\text{тр}}{S},\quad p_2=p_5+\dfrac{3F_\text{тр}}{S},\quad p_1=p_5+\dfrac{4F_\text{тр}}{S}.
Наконец, самый левый поршень: слева на него давит атмосфера (p_\text{а}S) и наша сила F, справа — газ 1-го отсека (p_1 S), и снова мешает трение F_\text{тр}. Условие сдвига (равновесие на пороге движения):
F+p_\text{а}S=p_1 S+F_\text{тр}\;\Rightarrow\;F=(p_1-p_\text{а})S+F_\text{тр}.
Подставляем p_1=2p_\text{а}+\dfrac{4F_\text{тр}}{S}:
F=\left(2p_\text{а}+\dfrac{4F_\text{тр}}{S}-p_\text{а}\right)S+F_\text{тр}=p_\text{а}S+4F_\text{тр}+F_\text{тр}=p_\text{а}S+5F_\text{тр}.
Числа: F=10^5\cdot0{,}01+5\cdot2=1000+10=1010\ \text{Н}.
Итог: F=1010 Н. Основной вклад (1000 Н) — чтобы сжать газ против атмосферы, и ещё 10 Н — на преодоление трения сразу пяти «прилипших» поршней.
F=p_\text{а}S+5F_\text{тр}=1010 Н