ID: 00016920
Воздушный шар, оболочка которого имеет массу $M=145$ кг и объём $V=230\ \text{м}^3$, наполняется при нормальном атмосферном давлении горячим воздухом, нагретым до температуры $T_1=265\,^\circ\text{C}$. Определите максимальную температуру $T_0$ окружающего воздуха, при которой шар начнёт подниматься. Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие.
Источник: ФИПИ
$M=145$ кг — масса оболочки; $\;V=230\ \text{м}^3$; $\;T_1=265\,^\circ\text{C}=538$ К — температура воздуха внутри; $\;p_0=10^5$ Па; молярная масса воздуха $\mu=0{,}029$ кг/моль; $\;g=10\ \text{м/с}^2$; $\;R=8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$; отверстие снизу $\Rightarrow$ давление внутри $=$ снаружи.
$T_0$ — максимальную температуру окружающего воздуха, при которой шар начнёт подниматься.
Шар всплывает по той же причине, что пузырёк в воде: окружающий воздух выталкивает его силой Архимеда, равной весу вытесненного воздуха. Внутри шара воздух горячий и потому «жидкий», лёгкий — его там мало по массе. Снаружи воздух холоднее и плотнее. Шар тронется вверх, когда выталкивающая сила хотя бы сравняется с полным весом (оболочка плюс горячий воздух внутри):
$F_\text{А}\ge Mg+m_\text{гор}\,g.$
Сила Архимеда — это вес наружного воздуха в объёме шара: $F_\text{А}=\rho_0 g V$, где $\rho_0$ — плотность наружного воздуха. Масса горячего воздуха внутри $m_\text{гор}=\rho_1 V$. Граничный случай (начинает подниматься) — равенство:
$\rho_0 g V=Mg+\rho_1 g V\;\Rightarrow\;(\rho_0-\rho_1)V=M.$
Плотность воздуха свяжем с температурой через уравнение Менделеева — Клапейрона, записанное «через плотность»: $\rho=\dfrac{p_0\mu}{RT}$ (давление снаружи и внутри одно и то же — отверстие соединяет шар с атмосферой). Тогда
$\rho_0=\dfrac{p_0\mu}{RT_0},\qquad \rho_1=\dfrac{p_0\mu}{RT_1}.$
Подставляем и выражаем $T_0$:
$\left(\dfrac{p_0\mu}{RT_0}-\dfrac{p_0\mu}{RT_1}\right)V=M\;\Rightarrow\;\dfrac{1}{T_0}=\dfrac{M R}{p_0\mu V}+\dfrac{1}{T_1}.$
Считаем по частям. Сначала $\dfrac{p_0\mu V}{R}=\dfrac{10^5\cdot0{,}029\cdot230}{8{,}31}\approx8{,}03\cdot10^{4}$. Тогда $\dfrac{MR}{p_0\mu V}=\dfrac{145}{8{,}03\cdot10^{4}}\approx1{,}806\cdot10^{-3}\ \text{К}^{-1}$, а $\dfrac{1}{T_1}=\dfrac{1}{538}\approx1{,}859\cdot10^{-3}\ \text{К}^{-1}$.
$\dfrac{1}{T_0}\approx(1{,}806+1{,}859)\cdot10^{-3}=3{,}665\cdot10^{-3}\ \text{К}^{-1}\;\Rightarrow\;T_0\approx273\ \text{К}.$
Итог: $T_0\approx273$ К, то есть около $0\,^\circ\text{C}$. Логично: чтобы лёгкий горячий шар взлетел, на улице должно быть достаточно холодно и плотно — тогда наружный воздух хорошо «подпирает» снизу.
$T_0\approx 273$ К $\approx 0\,^\circ\text{C}$