ID: 00016920
Воздушный шар, оболочка которого имеет массу M=145 кг и объём V=230\ \text{м}^3, наполняется при нормальном атмосферном давлении горячим воздухом, нагретым до температуры T_1=265\,^\circ\text{C}. Определите максимальную температуру T_0 окружающего воздуха, при которой шар начнёт подниматься. Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие.
Источник: ФИПИ
M=145 кг — масса оболочки; \;V=230\ \text{м}^3; \;T_1=265\,^\circ\text{C}=538 К — температура воздуха внутри; \;p_0=10^5 Па; молярная масса воздуха \mu=0{,}029 кг/моль; \;g=10\ \text{м/с}^2; \;R=8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}; отверстие снизу \Rightarrow давление внутри = снаружи.
T_0 — максимальную температуру окружающего воздуха, при которой шар начнёт подниматься.
Шар всплывает по той же причине, что пузырёк в воде: окружающий воздух выталкивает его силой Архимеда, равной весу вытесненного воздуха. Внутри шара воздух горячий и потому «жидкий», лёгкий — его там мало по массе. Снаружи воздух холоднее и плотнее. Шар тронется вверх, когда выталкивающая сила хотя бы сравняется с полным весом (оболочка плюс горячий воздух внутри):
F_\text{А}\ge Mg+m_\text{гор}\,g.
Сила Архимеда — это вес наружного воздуха в объёме шара: F_\text{А}=\rho_0 g V, где \rho_0 — плотность наружного воздуха. Масса горячего воздуха внутри m_\text{гор}=\rho_1 V. Граничный случай (начинает подниматься) — равенство:
\rho_0 g V=Mg+\rho_1 g V\;\Rightarrow\;(\rho_0-\rho_1)V=M.
Плотность воздуха свяжем с температурой через уравнение Менделеева — Клапейрона, записанное «через плотность»: \rho=\dfrac{p_0\mu}{RT} (давление снаружи и внутри одно и то же — отверстие соединяет шар с атмосферой). Тогда
\rho_0=\dfrac{p_0\mu}{RT_0},\qquad \rho_1=\dfrac{p_0\mu}{RT_1}.
Подставляем и выражаем T_0:
\left(\dfrac{p_0\mu}{RT_0}-\dfrac{p_0\mu}{RT_1}\right)V=M\;\Rightarrow\;\dfrac{1}{T_0}=\dfrac{M R}{p_0\mu V}+\dfrac{1}{T_1}.
Считаем по частям. Сначала \dfrac{p_0\mu V}{R}=\dfrac{10^5\cdot0{,}029\cdot230}{8{,}31}\approx8{,}03\cdot10^{4}. Тогда \dfrac{MR}{p_0\mu V}=\dfrac{145}{8{,}03\cdot10^{4}}\approx1{,}806\cdot10^{-3}\ \text{К}^{-1}, а \dfrac{1}{T_1}=\dfrac{1}{538}\approx1{,}859\cdot10^{-3}\ \text{К}^{-1}.
\dfrac{1}{T_0}\approx(1{,}806+1{,}859)\cdot10^{-3}=3{,}665\cdot10^{-3}\ \text{К}^{-1}\;\Rightarrow\;T_0\approx273\ \text{К}.
Итог: T_0\approx273 К, то есть около 0\,^\circ\text{C}. Логично: чтобы лёгкий горячий шар взлетел, на улице должно быть достаточно холодно и плотно — тогда наружный воздух хорошо «подпирает» снизу.
T_0\approx 273 К \approx 0\,^\circ\text{C}