ID: 00016919
Объём $V_1=0{,}1$ л водорода нагревают при постоянном давлении от $300$ до $3000$ К. При высоких температурах молекулы водорода $\mathrm{H_2}$ распадаются на отдельные атомы. На графике показана зависимость доли $\alpha$ распавшихся молекул от температуры. Чему равен конечный объём газа?
Источник: ФИПИ
$V_1=0{,}1$ л; $\;T_1=300$ К; $\;T_2=3000$ К; давление постоянно ($p=\text{const}$); по графику при $T_2=3000$ К доля распавшихся молекул $\alpha=20\%=0{,}2$.
$V_2$ — конечный объём газа.
Газ при постоянном давлении ведёт себя как «толпа в надувной комнате с мягкими стенками»: чем больше частиц и чем они быстрее (горячее), тем сильнее распирают стенки — комната раздувается. Объём при $p=\text{const}$ растёт по двум причинам сразу: от нагрева и от того, что частиц стало больше. А частиц становится больше, потому что каждая распавшаяся молекула $\mathrm{H_2}$ даёт два атома $\mathrm{H}$ — вместо одной «штуки» теперь две.
Посчитаем число частиц. Пусть сначала было $N_0$ молекул. Распалась доля $\alpha$: молекул осталось $N_0(1-\alpha)$, а из распавшихся $N_0\alpha$ молекул получилось $2N_0\alpha$ атомов. Всего частиц стало:
$N_2=N_0(1-\alpha)+2N_0\alpha=N_0(1+\alpha).$
Запишем уравнение состояния идеального газа для начала и конца ($p$ одинаковое): $pV=NkT$. Отсюда при постоянном $p$
$\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{N_2 T_2}{N_1 T_1}=\dfrac{N_0(1+\alpha)\,T_2}{N_0\,T_1}=(1+\alpha)\,\dfrac{T_2}{T_1}.$
Подставляем числа. По графику при $T=3000$ К доля распада $\alpha=0{,}2$:
$V_2=V_1\,(1+\alpha)\,\dfrac{T_2}{T_1}=0{,}1\cdot(1+0{,}2)\cdot\dfrac{3000}{300}=0{,}1\cdot1{,}2\cdot10=1{,}2\ \text{л}.$
Итог: газ раздулся с $0{,}1$ до $1{,}2$ л. В десять раз — от нагрева, и ещё на $20\%$ сверху — потому что часть молекул развалилась на два атома, и «народу» в комнате прибавилось.
$V_2=1{,}2$ л