Дано:

Точка 1: (V_0;\ np_0); точка 2: (nV_0;\ p_0); \;n=5; обе точки на одной изотерме T_0.

Найти:

\dfrac{T_\text{м}}{T_0} — во сколько раз максимальная температура в процессе больше температуры на изотерме.

Решение:

Представим температуру газа как «градусник», который у идеального газа показывает произведение pV: чем больше pV, тем горячее (T\propto pV, ведь по Менделееву — Клапейрону pV=\nu R T). На p\text{–}V-диаграмме изотерма — это «линия одинаковой жары», гипербола pV=\text{const}. Проверим, что точки 1 и 2 и впрямь на одной изотерме: в точке 1 произведение np_0\cdot V_0=np_0V_0, в точке 2 — p_0\cdot nV_0=np_0V_0. Одинаково, значит T_0\propto np_0V_0.

Процесс 1–2 — прямая. Запишем её уравнение. Наклон: при росте объёма от V_0 до nV_0 давление падает с np_0 до p_0, то есть k=\dfrac{p_0-np_0}{nV_0-V_0}=\dfrac{-p_0(n-1)}{V_0(n-1)}=-\dfrac{p_0}{V_0}. Тогда

p=np_0-\dfrac{p_0}{V_0}\,(V-V_0)=p_0(n+1)-\dfrac{p_0}{V_0}\,V.

Температура (с точностью до множителя) равна pV:

T\propto pV=\left[p_0(n+1)-\dfrac{p_0}{V_0}V\right]V=p_0(n+1)V-\dfrac{p_0}{V_0}V^2.

Это парабола «горбом вверх»: где-то посередине отрезка газ горячее, чем на концах. Найдём вершину — там, где производная по V равна нулю:

p_0(n+1)-\dfrac{2p_0}{V_0}V=0\;\Rightarrow\;V_\text{м}=\dfrac{(n+1)V_0}{2}.

Подставим этот объём и получим максимум произведения pV:

(pV)_\text{м}=p_0(n+1)\cdot\dfrac{(n+1)V_0}{2}-\dfrac{p_0}{V_0}\cdot\dfrac{(n+1)^2V_0^2}{4}=\dfrac{p_0V_0(n+1)^2}{4}.

Делим максимум на «изотермное» значение np_0V_0 — множители \propto и сам p_0V_0 сокращаются:

\dfrac{T_\text{м}}{T_0}=\dfrac{(pV)_\text{м}}{np_0V_0}=\dfrac{(n+1)^2}{4n}=\dfrac{6^2}{4\cdot5}=\dfrac{36}{20}=1{,}8.

Итог: в середине процесса газ нагрет в 1{,}8 раза сильнее, чем на изотерме, проходящей через концы — потому что прямая на p\text{–}V выгибается выше гиперболы.