МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016918

Дано:

Точка 1: $(V_0;\ np_0)$; точка 2: $(nV_0;\ p_0)$; $\;n=5$; обе точки на одной изотерме $T_0$.

Найти:

$\dfrac{T_\text{м}}{T_0}$ — во сколько раз максимальная температура в процессе больше температуры на изотерме.

Решение:

Представим температуру газа как «градусник», который у идеального газа показывает произведение $pV$: чем больше $pV$, тем горячее ($T\propto pV$, ведь по Менделееву — Клапейрону $pV=\nu R T$). На $p\text{–}V$-диаграмме изотерма — это «линия одинаковой жары», гипербола $pV=\text{const}$. Проверим, что точки 1 и 2 и впрямь на одной изотерме: в точке 1 произведение $np_0\cdot V_0=np_0V_0$, в точке 2 — $p_0\cdot nV_0=np_0V_0$. Одинаково, значит $T_0\propto np_0V_0$.

Процесс 1–2 — прямая. Запишем её уравнение. Наклон: при росте объёма от $V_0$ до $nV_0$ давление падает с $np_0$ до $p_0$, то есть $k=\dfrac{p_0-np_0}{nV_0-V_0}=\dfrac{-p_0(n-1)}{V_0(n-1)}=-\dfrac{p_0}{V_0}$. Тогда

$p=np_0-\dfrac{p_0}{V_0}\,(V-V_0)=p_0(n+1)-\dfrac{p_0}{V_0}\,V.$

Температура (с точностью до множителя) равна $pV$:

$T\propto pV=\left[p_0(n+1)-\dfrac{p_0}{V_0}V\right]V=p_0(n+1)V-\dfrac{p_0}{V_0}V^2.$

Это парабола «горбом вверх»: где-то посередине отрезка газ горячее, чем на концах. Найдём вершину — там, где производная по $V$ равна нулю:

$p_0(n+1)-\dfrac{2p_0}{V_0}V=0\;\Rightarrow\;V_\text{м}=\dfrac{(n+1)V_0}{2}.$

Подставим этот объём и получим максимум произведения $pV$:

$(pV)_\text{м}=p_0(n+1)\cdot\dfrac{(n+1)V_0}{2}-\dfrac{p_0}{V_0}\cdot\dfrac{(n+1)^2V_0^2}{4}=\dfrac{p_0V_0(n+1)^2}{4}.$

Делим максимум на «изотермное» значение $np_0V_0$ — множители $\propto$ и сам $p_0V_0$ сокращаются:

$\dfrac{T_\text{м}}{T_0}=\dfrac{(pV)_\text{м}}{np_0V_0}=\dfrac{(n+1)^2}{4n}=\dfrac{6^2}{4\cdot5}=\dfrac{36}{20}=1{,}8.$

Итог: в середине процесса газ нагрет в $1{,}8$ раза сильнее, чем на изотерме, проходящей через концы — потому что прямая на $p\text{–}V$ выгибается выше гиперболы.