ID: 00016917
Два иона с отношением зарядов q2/ q1 = 3 и отношением масс m2/ m1 = 1/2 движутся в однородном электрическом поле. Начальная скорость у обоих ионов равна нулю. Определите отношение кинетических энергий этих ионов W2/W1 спустя одно и то же время после начала движения.
Источник: ФИПИ
$\dfrac{q_2}{q_1}=3$; $\;\dfrac{m_2}{m_1}=\dfrac{1}{2}$; оба иона стартуют из покоя ($v_0=0$) в одном однородном поле $E$; время движения $t$ одинаково
$\dfrac{W_2}{W_1}$ — отношение кинетических энергий
Сравни два мячика в одном и том же «ветре» (поле $E$). На заряд поле давит силой $F=qE$ — чем больше заряд, тем сильнее толкает. А лёгкий мячик от того же толчка разгоняется охотнее, чем тяжёлый. У второго иона заряд втрое больше и масса вдвое меньше — оба фактора играют ему на руку, поэтому энергии будут сильно отличаться.
Сила со стороны поля: $F=qE$. По второму закону Ньютона ускорение $a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{qE}{m}$. Старт из покоя — значит через время $t$ скорость $v=at=\dfrac{qEt}{m}$.
Кинетическая энергия:
$W=\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{m}{2}\left(\dfrac{qEt}{m}\right)^2=\dfrac{q^2E^2t^2}{2m}.$
Поле $E$ и время $t$ одинаковы для обоих ионов, поэтому в отношении энергий они сократятся:
$\dfrac{W_2}{W_1}=\dfrac{q_2^2/m_2}{q_1^2/m_1}=\dfrac{\left(\dfrac{q_2}{q_1}\right)^2}{\dfrac{m_2}{m_1}}=\dfrac{3^2}{1/2}=9\cdot 2=18.$
Заряд входит в квадрате (даёт множитель $9$), а вдвое меньшая масса добавляет ещё множитель $2$ — вместе получается $18$. Лёгкий и сильно заряженный ион уносит в $18$ раз больше энергии.
$\dfrac{W_2}{W_1}=18$