ID: 00016915
В центре металлической сферической оболочки толщиной 0,2 см поместили точечный заряд q = 1 мкКл, а на её внешнюю поверхность радиусом R = 10 см — заряд Q = -3 мкКл. Найдите для равновесного состояния модуль напряжённости E электрического поля на расстоянии r = 2 м от центра оболочки и укажите, куда направлен вектор E — к центру оболочки или от неё.
Источник: ФИПИ
$q=1$ мкКл $=1\cdot10^{-6}$ Кл (в центре); $\;Q=-3$ мкКл $=-3\cdot10^{-6}$ Кл (на внешней поверхности); $\;R=10$ см (радиус сферы); толщина оболочки $0{,}2$ см; $\;r=2$ м; $\;k=9\cdot10^{9}$ Н·м²/Кл²
$E$ на расстоянии $r$ от центра и направление вектора $\vec E$
Металлическая оболочка тут — как касса-перекладчик: сам металл нейтрален, он только переносит заряды по поверхностям. Заряд $q$ в центре притягивает к внутренней стенке заряд $-q$, а вытолкнутый плюс $+q$ садится на внешнюю стенку (закон сохранения заряда в проводнике).
Точка наблюдения $r=2$ м лежит далеко снаружи оболочки ($R=0{,}1$ м). Для внешней точки вся система выглядит как один точечный заряд в центре, равный сумме всех зарядов внутри (теорема Гаусса). Складываем:
$q_{\text{полн}}=q\;(\text{центр})+(-q)\;(\text{внутр. стенка})+\big(q+Q\big)\;(\text{внешн. стенка})=q+Q.$
$q_{\text{полн}}=1\cdot10^{-6}+(-3\cdot10^{-6})=-2\cdot10^{-6}\ \text{Кл}.$
Модуль поля точечного заряда:
$E=\dfrac{k\,|q_{\text{полн}}|}{r^{2}}=\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot 2\cdot10^{-6}}{2^{2}}=\dfrac{18000}{4}=4500\ \text{В/м}.$
Суммарный заряд получился отрицательным ($-2$ мкКл), а к отрицательному заряду силовые линии сходятся — значит вектор $\vec E$ направлен к центру оболочки.
$E=4500$ В/м $=4{,}5$ кВ/м, вектор направлен к центру оболочки