ID: 00016915
В центре металлической сферической оболочки толщиной 0,2 см поместили точечный заряд q = 1 мкКл, а на её внешнюю поверхность радиусом R = 10 см — заряд Q = -3 мкКл. Найдите для равновесного состояния модуль напряжённости E электрического поля на расстоянии r = 2 м от центра оболочки и укажите, куда направлен вектор E — к центру оболочки или от неё.
Источник: ФИПИ
q=1 мкКл =1\cdot10^{-6} Кл (в центре); \;Q=-3 мкКл =-3\cdot10^{-6} Кл (на внешней поверхности); \;R=10 см (радиус сферы); толщина оболочки 0{,}2 см; \;r=2 м; \;k=9\cdot10^{9} Н·м²/Кл²
E на расстоянии r от центра и направление вектора \vec E
Металлическая оболочка тут — как касса-перекладчик: сам металл нейтрален, он только переносит заряды по поверхностям. Заряд q в центре притягивает к внутренней стенке заряд -q, а вытолкнутый плюс +q садится на внешнюю стенку (закон сохранения заряда в проводнике).
Точка наблюдения r=2 м лежит далеко снаружи оболочки (R=0{,}1 м). Для внешней точки вся система выглядит как один точечный заряд в центре, равный сумме всех зарядов внутри (теорема Гаусса). Складываем:
q_{\text{полн}}=q\;(\text{центр})+(-q)\;(\text{внутр. стенка})+\big(q+Q\big)\;(\text{внешн. стенка})=q+Q.
q_{\text{полн}}=1\cdot10^{-6}+(-3\cdot10^{-6})=-2\cdot10^{-6}\ \text{Кл}.
Модуль поля точечного заряда:
E=\dfrac{k\,|q_{\text{полн}}|}{r^{2}}=\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot 2\cdot10^{-6}}{2^{2}}=\dfrac{18000}{4}=4500\ \text{В/м}.
Суммарный заряд получился отрицательным (-2 мкКл), а к отрицательному заряду силовые линии сходятся — значит вектор \vec E направлен к центру оболочки.
E=4500 В/м =4{,}5 кВ/м, вектор направлен к центру оболочки