ID: 00016914
В центре металлической сферической оболочки толщиной 0,5 см поместили точечный заряд q = 2 мкКл, а на её внешнюю поверхность радиусом R = 10 см — заряд Q = -1 мкКл. Найдите для равновесного состояния модуль напряжённости E электрического поля на расстоянии r = 1 м от центра оболочки и укажите, куда направлен вектор E — к центру оболочки или от неё.
Источник: ФИПИ
q=2 мкКл =2\cdot10^{-6} Кл (в центре); \;Q=-1 мкКл =-1\cdot10^{-6} Кл (на внешней поверхности); \;R=10 см (радиус сферы); толщина оболочки 0{,}5 см; \;r=1 м; \;k=9\cdot10^{9} Н·м²/Кл²
E на расстоянии r от центра и направление вектора \vec E
Металлическая оболочка работает как умный «фокусник-перекладчик». Заряд q в центре притягивает свободные электроны металла: на внутренней стенке оболочки наводится заряд -q, а ровно столько же «лишнего» плюса (+q) выталкивается на внешнюю стенку. Это закон сохранения заряда: металл сам по себе нейтрален, он только перераспределяет.
Нам нужно поле далеко снаружи (на r=1 м, это больше радиуса оболочки R=0{,}1 м). Для точки снаружи замкнутой системы важна только сумма всех зарядов внутри воображаемого шара радиуса r — как будто весь заряд собран в центре (теорема Гаусса / поле точечного заряда). Считаем полный заряд:
q_{\text{полн}}=q\;(\text{центр})+(-q)\;(\text{внутр. стенка})+\big(q+Q\big)\;(\text{внешн. стенка})=q+Q.
Наведённые -q и +q компенсируют друг друга, остаётся только то, что реально «добавили»: q_{\text{полн}}=q+Q.
q_{\text{полн}}=2\cdot10^{-6}+(-1\cdot10^{-6})=1\cdot10^{-6}\ \text{Кл}.
Теперь поле точечного заряда:
E=\dfrac{k\,|q_{\text{полн}}|}{r^{2}}=\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot 1\cdot10^{-6}}{1^{2}}=9000\ \text{В/м}.
Суммарный заряд положительный (+1 мкКл), значит силовые линии выходят наружу — вектор \vec E направлен от центра оболочки.
E=9000 В/м =9 кВ/м, вектор направлен от центра оболочки