ID: 00016914
В центре металлической сферической оболочки толщиной 0,5 см поместили точечный заряд q = 2 мкКл, а на её внешнюю поверхность радиусом R = 10 см — заряд Q = -1 мкКл. Найдите для равновесного состояния модуль напряжённости E электрического поля на расстоянии r = 1 м от центра оболочки и укажите, куда направлен вектор E — к центру оболочки или от неё.
Источник: ФИПИ
$q=2$ мкКл $=2\cdot10^{-6}$ Кл (в центре); $\;Q=-1$ мкКл $=-1\cdot10^{-6}$ Кл (на внешней поверхности); $\;R=10$ см (радиус сферы); толщина оболочки $0{,}5$ см; $\;r=1$ м; $\;k=9\cdot10^{9}$ Н·м²/Кл²
$E$ на расстоянии $r$ от центра и направление вектора $\vec E$
Металлическая оболочка работает как умный «фокусник-перекладчик». Заряд $q$ в центре притягивает свободные электроны металла: на внутренней стенке оболочки наводится заряд $-q$, а ровно столько же «лишнего» плюса ($+q$) выталкивается на внешнюю стенку. Это закон сохранения заряда: металл сам по себе нейтрален, он только перераспределяет.
Нам нужно поле далеко снаружи (на $r=1$ м, это больше радиуса оболочки $R=0{,}1$ м). Для точки снаружи замкнутой системы важна только сумма всех зарядов внутри воображаемого шара радиуса $r$ — как будто весь заряд собран в центре (теорема Гаусса / поле точечного заряда). Считаем полный заряд:
$q_{\text{полн}}=q\;(\text{центр})+(-q)\;(\text{внутр. стенка})+\big(q+Q\big)\;(\text{внешн. стенка})=q+Q.$
Наведённые $-q$ и $+q$ компенсируют друг друга, остаётся только то, что реально «добавили»: $q_{\text{полн}}=q+Q$.
$q_{\text{полн}}=2\cdot10^{-6}+(-1\cdot10^{-6})=1\cdot10^{-6}\ \text{Кл}.$
Теперь поле точечного заряда:
$E=\dfrac{k\,|q_{\text{полн}}|}{r^{2}}=\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot 1\cdot10^{-6}}{1^{2}}=9000\ \text{В/м}.$
Суммарный заряд положительный ($+1$ мкКл), значит силовые линии выходят наружу — вектор $\vec E$ направлен от центра оболочки.
$E=9000$ В/м $=9$ кВ/м, вектор направлен от центра оболочки