ID: 00016913
На плоскости в вакууме расположен правильный шестиугольник, в вершинах которого находятся 6 одинаковых по величине электрических точечных зарядов — три положительных и три отрицательных. Пронумеруем вершины по часовой стрелке, начиная с какой-то произвольной, номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Пусть вначале в вершинах с номерами 1, 2, 3 находятся положительные заряды, а в остальных, с номерами 4, 5, 6, — отрицательные. Пусть в центре шестиугольника, точке О, один заряд создаёт электрическое поле с модулем напряжённости Е0. Обозначим модуль напряжённости поля от всех зарядов в той же точке через Е1. Затем заряды под номерами 3 и 4 поменяем местами. Обозначим поле в точке О в этом случае через Е2. Найдите отношение Е1/Е2.
Источник: ФИПИ
Правильный шестиугольник, вершины 1–6 по часовой стрелке; в вершинах — 3 заряда $+q$ и 3 заряда $-q$; один заряд создаёт в центре $O$ поле $E_0$. Конфигурация 1: $(+,+,+,-,-,-)$ — поле $E_1$. Конфигурация 2: поменяли местами заряды в вершинах 3 и 4 — поле $E_2$.
$\dfrac{E_1}{E_2}$
Поле в центре — это как перетягивание каната шестью командами с разных сторон. Все вершины на одинаковом расстоянии от центра, поэтому каждый заряд тянет «верёвку» с одинаковой силой $E_0$, важно лишь, в какую сторону. Заряд $+q$ толкает пробный плюс от себя (от своей вершины к центру и дальше), заряд $-q$ тянет к себе. Складываем стрелочки по правилу сложения векторов.
Хитрость шестиугольника: вершина 4 лежит ровно напротив вершины 1, 5 — напротив 2, 6 — напротив 3. Если в противоположных вершинах стоят разные по знаку заряды, их стрелки в центре смотрят в одну сторону и складываются (каждая пара даёт $2E_0$). Если знаки одинаковые — стрелки противоположны и гасятся в ноль.
Конфигурация 1. Пары противоположных вершин: $(1,4)=(+,-)$, $(2,5)=(+,-)$, $(3,6)=(+,-)$ — все три пары «разнознаковые», каждая даёт по $2E_0$. Сложив три вектора по $2E_0$, направленных вдоль трёх диагоналей (углы между соседними диагоналями $60^\circ$), получаем суммарный модуль $E_1=4E_0$ (геометрическое сложение: $|2E_0|\cdot|(0,1)+(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12)+(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12)|=2E_0\cdot 2=4E_0$).
Конфигурация 2. Поменяли заряды в 3 и 4: стало $(+,+,-,+,-,-)$. Теперь пары: $(1,4)=(+,+)$ — гасятся в ноль; $(3,6)=(-,-)$ — гасятся в ноль; остаётся только пара $(2,5)=(+,-)$, дающая $E_2=2E_0$.
Отношение:
$\dfrac{E_1}{E_2}=\dfrac{4E_0}{2E_0}=2.$
Перестановка двух зарядов «сломала» две из трёх работающих пар — поле в центре ослабло вдвое.
$\dfrac{E_1}{E_2}=2$