Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00016913

Дано:

Правильный шестиугольник, вершины 1–6 по часовой стрелке; в вершинах — 3 заряда $+q$ и 3 заряда $-q$; один заряд создаёт в центре $O$ поле $E_0$. Конфигурация 1: $(+,+,+,-,-,-)$ — поле $E_1$. Конфигурация 2: поменяли местами заряды в вершинах 3 и 4 — поле $E_2$.

Найти:

$\dfrac{E_1}{E_2}$

Решение:

Поле в центре — это как перетягивание каната шестью командами с разных сторон. Все вершины на одинаковом расстоянии от центра, поэтому каждый заряд тянет «верёвку» с одинаковой силой $E_0$, важно лишь, в какую сторону. Заряд $+q$ толкает пробный плюс от себя (от своей вершины к центру и дальше), заряд $-q$ тянет к себе. Складываем стрелочки по правилу сложения векторов.

Хитрость шестиугольника: вершина 4 лежит ровно напротив вершины 1, 5 — напротив 2, 6 — напротив 3. Если в противоположных вершинах стоят разные по знаку заряды, их стрелки в центре смотрят в одну сторону и складываются (каждая пара даёт $2E_0$). Если знаки одинаковые — стрелки противоположны и гасятся в ноль.

Конфигурация 1. Пары противоположных вершин: $(1,4)=(+,-)$, $(2,5)=(+,-)$, $(3,6)=(+,-)$ — все три пары «разнознаковые», каждая даёт по $2E_0$. Сложив три вектора по $2E_0$, направленных вдоль трёх диагоналей (углы между соседними диагоналями $60^\circ$), получаем суммарный модуль $E_1=4E_0$ (геометрическое сложение: $|2E_0|\cdot|(0,1)+(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12)+(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12)|=2E_0\cdot 2=4E_0$).

Конфигурация 2. Поменяли заряды в 3 и 4: стало $(+,+,-,+,-,-)$. Теперь пары: $(1,4)=(+,+)$ — гасятся в ноль; $(3,6)=(-,-)$ — гасятся в ноль; остаётся только пара $(2,5)=(+,-)$, дающая $E_2=2E_0$.

Отношение:

$\dfrac{E_1}{E_2}=\dfrac{4E_0}{2E_0}=2.$

Перестановка двух зарядов «сломала» две из трёх работающих пар — поле в центре ослабло вдвое.