ID: 00016913
На плоскости в вакууме расположен правильный шестиугольник, в вершинах которого находятся 6 одинаковых по величине электрических точечных зарядов — три положительных и три отрицательных. Пронумеруем вершины по часовой стрелке, начиная с какой-то произвольной, номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Пусть вначале в вершинах с номерами 1, 2, 3 находятся положительные заряды, а в остальных, с номерами 4, 5, 6, — отрицательные. Пусть в центре шестиугольника, точке О, один заряд создаёт электрическое поле с модулем напряжённости Е0. Обозначим модуль напряжённости поля от всех зарядов в той же точке через Е1. Затем заряды под номерами 3 и 4 поменяем местами. Обозначим поле в точке О в этом случае через Е2. Найдите отношение Е1/Е2.
Источник: ФИПИ
Правильный шестиугольник, вершины 1–6 по часовой стрелке; в вершинах — 3 заряда +q и 3 заряда -q; один заряд создаёт в центре O поле E_0. Конфигурация 1: (+,+,+,-,-,-) — поле E_1. Конфигурация 2: поменяли местами заряды в вершинах 3 и 4 — поле E_2.
\dfrac{E_1}{E_2}
Поле в центре — это как перетягивание каната шестью командами с разных сторон. Все вершины на одинаковом расстоянии от центра, поэтому каждый заряд тянет «верёвку» с одинаковой силой E_0, важно лишь, в какую сторону. Заряд +q толкает пробный плюс от себя (от своей вершины к центру и дальше), заряд -q тянет к себе. Складываем стрелочки по правилу сложения векторов.
Хитрость шестиугольника: вершина 4 лежит ровно напротив вершины 1, 5 — напротив 2, 6 — напротив 3. Если в противоположных вершинах стоят разные по знаку заряды, их стрелки в центре смотрят в одну сторону и складываются (каждая пара даёт 2E_0). Если знаки одинаковые — стрелки противоположны и гасятся в ноль.
Конфигурация 1. Пары противоположных вершин: (1,4)=(+,-), (2,5)=(+,-), (3,6)=(+,-) — все три пары «разнознаковые», каждая даёт по 2E_0. Сложив три вектора по 2E_0, направленных вдоль трёх диагоналей (углы между соседними диагоналями 60^\circ), получаем суммарный модуль E_1=4E_0 (геометрическое сложение: |2E_0|\cdot|(0,1)+(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12)+(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12)|=2E_0\cdot 2=4E_0).
Конфигурация 2. Поменяли заряды в 3 и 4: стало (+,+,-,+,-,-). Теперь пары: (1,4)=(+,+) — гасятся в ноль; (3,6)=(-,-) — гасятся в ноль; остаётся только пара (2,5)=(+,-), дающая E_2=2E_0.
Отношение:
\dfrac{E_1}{E_2}=\dfrac{4E_0}{2E_0}=2.
Перестановка двух зарядов «сломала» две из трёх работающих пар — поле в центре ослабло вдвое.
\dfrac{E_1}{E_2}=2