ID: 00016911
Математический маятник, грузик которого имеет массу m = 8 г, совершает малые колебания в поле силы тяжести с периодом T1 = 0,7 с. Грузик зарядили и включили направленное вниз однородное вертикальное электрическое поле, модуль напряжённости которого равен E = 3 кВ/м. В результате этого период колебаний маятника стал равным T2 = 0,5 с. Найдите заряд q грузика.
Источник: ФИПИ
m=8 г =8\cdot10^{-3} кг; \;T_1=0{,}7 с (без поля); \;E=3 кВ/м =3000 В/м (поле вниз); \;T_2=0{,}5 с (с полем); \;g=10 м/с^2
q — заряд грузика
Период качания маятника зависит от того, насколько сильно его «тянет вниз». Представь качели: чем сильнее притяжение, тем шустрее они мотаются туда-сюда. Сначала грузик тянет только тяжесть. Потом включают поле, которое добавляет силу вниз — будто к грузику снизу привязали невидимую резинку и потянули к земле. «Тянет вниз» стало сильнее — и маятник замахал быстрее, период уменьшился с 0{,}7 до 0{,}5 с. Это как раз и подтверждает, что электрическая сила добавилась к тяжести (направлена вниз).
Период математического маятника T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g_\text{эф}}}, где g_\text{эф} — «эффективное» ускорение от всех сил, тянущих вниз, делённых на массу. Без поля g_\text{эф}=g:
T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}.
С полем добавляется электрическая сила qE вниз, поэтому g_\text{эф}=g+\dfrac{qE}{m}:
T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{\,g+qE/m\,}}.
Длина l одна и та же — поделим квадрат первого периода на квадрат второго, l и 2\pi сократятся:
\dfrac{T_1^2}{T_2^2} = \dfrac{g+qE/m}{g}\;\Rightarrow\;g+\dfrac{qE}{m} = g\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2.
Выражаем заряд:
\dfrac{qE}{m} = g\left[\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2-1\right]\;\Rightarrow\;q = \dfrac{mg}{E}\left[\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2-1\right].
Считаем: \left(\dfrac{0{,}7}{0{,}5}\right)^2=1{,}96, тогда 1{,}96-1=0{,}96. Подставляем:
q = \dfrac{8\cdot10^{-3}\cdot10}{3000}\cdot0{,}96 = \dfrac{0{,}08}{3000}\cdot0{,}96 \approx 2{,}56\cdot10^{-5}\ \text{Кл}.
Получилось q\approx25{,}6 мкКл.
q \approx 2{,}56\cdot10^{-5} Кл = 25{,}6 мкКл.