Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00016911

Дано:

$m=8$ г $=8\cdot10^{-3}$ кг; $\;T_1=0{,}7$ с (без поля); $\;E=3$ кВ/м $=3000$ В/м (поле вниз); $\;T_2=0{,}5$ с (с полем); $\;g=10$ м/с$^2$

Найти:

$q$ — заряд грузика

Решение:

Период качания маятника зависит от того, насколько сильно его «тянет вниз». Представь качели: чем сильнее притяжение, тем шустрее они мотаются туда-сюда. Сначала грузик тянет только тяжесть. Потом включают поле, которое добавляет силу вниз — будто к грузику снизу привязали невидимую резинку и потянули к земле. «Тянет вниз» стало сильнее — и маятник замахал быстрее, период уменьшился с $0{,}7$ до $0{,}5$ с. Это как раз и подтверждает, что электрическая сила добавилась к тяжести (направлена вниз).

Период математического маятника $T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g_\text{эф}}}$, где $g_\text{эф}$ — «эффективное» ускорение от всех сил, тянущих вниз, делённых на массу. Без поля $g_\text{эф}=g$:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}.$

С полем добавляется электрическая сила $qE$ вниз, поэтому $g_\text{эф}=g+\dfrac{qE}{m}$:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{\,g+qE/m\,}}.$

Длина $l$ одна и та же — поделим квадрат первого периода на квадрат второго, $l$ и $2\pi$ сократятся:

$\dfrac{T_1^2}{T_2^2} = \dfrac{g+qE/m}{g}\;\Rightarrow\;g+\dfrac{qE}{m} = g\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2.$

Выражаем заряд:

$\dfrac{qE}{m} = g\left[\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2-1\right]\;\Rightarrow\;q = \dfrac{mg}{E}\left[\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2-1\right].$

Считаем: $\left(\dfrac{0{,}7}{0{,}5}\right)^2=1{,}96$, тогда $1{,}96-1=0{,}96$. Подставляем:

$q = \dfrac{8\cdot10^{-3}\cdot10}{3000}\cdot0{,}96 = \dfrac{0{,}08}{3000}\cdot0{,}96 \approx 2{,}56\cdot10^{-5}\ \text{Кл}.$

Получилось $q\approx25{,}6$ мкКл.