Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00016910

Дано:

$m$ — масса шара; $\;q\gt 0$ — заряд; $\;l$ — длина нити; $\;E$ — напряжённость поля, направлена вниз; нить под углом $\alpha$ к вертикали; шар движется по окружности в горизонтальной плоскости (конический маятник); $\;g$ — ускорение свободного падения

Найти:

$\nu$ — частоту обращения (и нарисовать силы)

Решение:

Это «конический маятник» — как шарик на верёвочке, который раскручивают по кругу над головой: верёвка описывает конус, а шарик бежит по горизонтальной окружности. Натяжение нити играет тут двойную роль: вертикальной частью держит шар от падения, а горизонтальной — заворачивает его на круг (даёт центростремительную силу), как рука удерживает камень в праще.

На шар действуют три силы: тяжесть $mg$ вниз, электрическая сила $qE$ тоже вниз (поле направлено вниз, заряд положительный), и натяжение нити $T$ вдоль нити. Заметь: тяжесть и электрическая сила складываются в одну «эффективную тяжесть» $mg+qE$, направленную вниз.

Запишем второй закон Ньютона по осям. По вертикали ускорения нет, поэтому вертикальная часть натяжения уравновешивает «эффективную тяжесть»:

$T\cos\alpha = mg + qE.$

По горизонтали натяжение даёт центростремительное ускорение для движения по кругу радиуса $r=l\sin\alpha$:

$T\sin\alpha = m\omega^2 r = m\omega^2 l\sin\alpha\;\Rightarrow\;T = m\omega^2 l.$

Подставим $T$ из второго равенства в первое:

$m\omega^2 l\cos\alpha = mg+qE\;\Rightarrow\;\omega^2 = \dfrac{mg+qE}{ml\cos\alpha}.$

Частота обращения связана с угловой скоростью как $\nu=\dfrac{\omega}{2\pi}$, поэтому окончательно:

$\nu = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{mg+qE}{ml\cos\alpha}}.$

Проверка логики: если поле выключить ($E=0$), получится частота обычного конического маятника $\nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{l\cos\alpha}}$ — всё сходится.