Дано:

R=1 м; \;q=1 нКл =10^{-9} Кл (заряд всего кольца); \;\Delta\varphi=0{,}05 рад (угол, под которым из центра виден удалённый кусочек); \;k=9\cdot10^9 Н·м^2/Кл^2

Найти:

\Delta E — изменение модуля напряжённости в центре

Решение:

Представь круглый стол, за которым ровно по кругу сидят одинаковые люди и тянут верёвки к центру с равной силой во все стороны — узелок в центре стоит на месте, силы гасят друг друга. Целое заряженное кольцо в центре создаёт ровно ноль поля: каждый кусочек уравновешен противоположным. Но стоит одному «человеку» уйти — и его напарник напротив остаётся без пары: появляется перекос.

Удалить маленький кусочек — это всё равно что к целому кольцу (которое даёт ноль) добавить такой же по величине, но противоположный заряд в месте кусочка. Поэтому изменение поля в центре по модулю равно полю, которое создавал бы один этот кусочек как точечный заряд.

Заряд кусочка пропорционален его доле от полного кольца. Полному кольцу отвечает угол 2\pi, кусочку — угол \Delta\varphi, поэтому

\Delta q = q\cdot\dfrac{\Delta\varphi}{2\pi}.

Этот кусочек находится на расстоянии R от центра, значит создаёт там поле точечного заряда:

\Delta E = \dfrac{k\,\Delta q}{R^2} = \dfrac{k\,q\,\Delta\varphi}{2\pi R^2}.

Подставляем числа:

\Delta E = \dfrac{9\cdot10^9\cdot10^{-9}\cdot0{,}05}{2\pi\cdot1^2} = \dfrac{0{,}45}{6{,}28}\approx0{,}072\ \text{В/м}.

Получилось \Delta E\approx0{,}072 В/м \approx72 мВ/м. Поле направлено вдоль линии «центр — дырка»: в сторону удалённого кусочка, если заряд кольца положительный (как от недостающего отрицательного «двойника»).