Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00016908

Дано:

$R=1$ м; $\;q=1$ нКл $=10^{-9}$ Кл (заряд всего кольца); $\;\Delta\varphi=0{,}05$ рад (угол, под которым из центра виден удалённый кусочек); $\;k=9\cdot10^9$ Н·м$^2$/Кл$^2$

Найти:

$\Delta E$ — изменение модуля напряжённости в центре

Решение:

Представь круглый стол, за которым ровно по кругу сидят одинаковые люди и тянут верёвки к центру с равной силой во все стороны — узелок в центре стоит на месте, силы гасят друг друга. Целое заряженное кольцо в центре создаёт ровно ноль поля: каждый кусочек уравновешен противоположным. Но стоит одному «человеку» уйти — и его напарник напротив остаётся без пары: появляется перекос.

Удалить маленький кусочек — это всё равно что к целому кольцу (которое даёт ноль) добавить такой же по величине, но противоположный заряд в месте кусочка. Поэтому изменение поля в центре по модулю равно полю, которое создавал бы один этот кусочек как точечный заряд.

Заряд кусочка пропорционален его доле от полного кольца. Полному кольцу отвечает угол $2\pi$, кусочку — угол $\Delta\varphi$, поэтому

$\Delta q = q\cdot\dfrac{\Delta\varphi}{2\pi}.$

Этот кусочек находится на расстоянии $R$ от центра, значит создаёт там поле точечного заряда:

$\Delta E = \dfrac{k\,\Delta q}{R^2} = \dfrac{k\,q\,\Delta\varphi}{2\pi R^2}.$

Подставляем числа:

$\Delta E = \dfrac{9\cdot10^9\cdot10^{-9}\cdot0{,}05}{2\pi\cdot1^2} = \dfrac{0{,}45}{6{,}28}\approx0{,}072\ \text{В/м}.$

Получилось $\Delta E\approx0{,}072$ В/м $\approx72$ мВ/м. Поле направлено вдоль линии «центр — дырка»: в сторону удалённого кусочка, если заряд кольца положительный (как от недостающего отрицательного «двойника»).