Дано:

r=1 м; \;F=1 Н; \;Q=q_1+q_2=2 мкКл =2\cdot10^{-6} Кл; \;k=9\cdot10^9 Н·м^2/Кл^2

Найти:

|q_1|,\;|q_2| — модули зарядов

Решение:

Представь, что у тебя есть два числа, и про них известны две вещи: сколько будет, если их сложить, и сколько будет, если их перемножить. Этого достаточно, чтобы найти сами числа — как в школьной теореме Виета про корни квадратного уравнения. Здесь то же самое: «сумма» нам дана в условии, а «произведение» подскажет закон Кулона.

Заряды притягиваются, значит они разных знаков, и их произведение отрицательно: q_1 q_2\lt 0. Модуль произведения найдём из закона Кулона F=\dfrac{k|q_1 q_2|}{r^2}:

|q_1 q_2| = \dfrac{F r^2}{k} = \dfrac{1\cdot1^2}{9\cdot10^9}\approx1{,}11\cdot10^{-10}\ \text{Кл}^2.

Итак, у нас система: сумма q_1+q_2=2\cdot10^{-6} и произведение q_1 q_2=-1{,}11\cdot10^{-10} (минус, потому что притяжение). По теореме Виета заряды — корни квадратного уравнения:

x^2 - Q\,x + (q_1 q_2)=0,\quad\text{т.е.}\quad x^2 - 2\cdot10^{-6}x - 1{,}11\cdot10^{-10}=0.

Дискриминант: D=Q^2 + 4|q_1 q_2| = (2\cdot10^{-6})^2 + 4\cdot1{,}11\cdot10^{-10}\approx4{,}48\cdot10^{-10}, \;\sqrt{D}\approx2{,}12\cdot10^{-5}.

x = \dfrac{Q\pm\sqrt{D}}{2} = \dfrac{2\cdot10^{-6}\pm2{,}12\cdot10^{-5}}{2}.

Получаем x_1\approx+1{,}16\cdot10^{-5} Кл и x_2\approx-9{,}6\cdot10^{-6} Кл. Один заряд положительный, другой отрицательный — как и ожидали для притяжения. По модулю:

|q_1|\approx11{,}6 мкКл, \;|q_2|\approx9{,}6 мкКл.