ID: 00016907
Два точечных заряда q1 и q2, находящиеся на расстоянии r=1 м друг от друга, притягиваются с силой F=1 Н. Сумма зарядов равна Q=2 мкКл. Чему равны модули этих зарядов? Ответ округлите до десятых долей мкКл.
Источник: ФИПИ
$r=1$ м; $\;F=1$ Н; $\;Q=q_1+q_2=2$ мкКл $=2\cdot10^{-6}$ Кл; $\;k=9\cdot10^9$ Н·м$^2$/Кл$^2$
$|q_1|,\;|q_2|$ — модули зарядов
Представь, что у тебя есть два числа, и про них известны две вещи: сколько будет, если их сложить, и сколько будет, если их перемножить. Этого достаточно, чтобы найти сами числа — как в школьной теореме Виета про корни квадратного уравнения. Здесь то же самое: «сумма» нам дана в условии, а «произведение» подскажет закон Кулона.
Заряды притягиваются, значит они разных знаков, и их произведение отрицательно: $q_1 q_2\lt 0$. Модуль произведения найдём из закона Кулона $F=\dfrac{k|q_1 q_2|}{r^2}$:
$|q_1 q_2| = \dfrac{F r^2}{k} = \dfrac{1\cdot1^2}{9\cdot10^9}\approx1{,}11\cdot10^{-10}\ \text{Кл}^2.$
Итак, у нас система: сумма $q_1+q_2=2\cdot10^{-6}$ и произведение $q_1 q_2=-1{,}11\cdot10^{-10}$ (минус, потому что притяжение). По теореме Виета заряды — корни квадратного уравнения:
$x^2 - Q\,x + (q_1 q_2)=0,\quad\text{т.е.}\quad x^2 - 2\cdot10^{-6}x - 1{,}11\cdot10^{-10}=0.$
Дискриминант: $D=Q^2 + 4|q_1 q_2| = (2\cdot10^{-6})^2 + 4\cdot1{,}11\cdot10^{-10}\approx4{,}48\cdot10^{-10}$, $\;\sqrt{D}\approx2{,}12\cdot10^{-5}$.
$x = \dfrac{Q\pm\sqrt{D}}{2} = \dfrac{2\cdot10^{-6}\pm2{,}12\cdot10^{-5}}{2}.$
Получаем $x_1\approx+1{,}16\cdot10^{-5}$ Кл и $x_2\approx-9{,}6\cdot10^{-6}$ Кл. Один заряд положительный, другой отрицательный — как и ожидали для притяжения. По модулю:
$|q_1|\approx11{,}6$ мкКл, $\;|q_2|\approx9{,}6$ мкКл.
$|q_1|\approx 11{,}6$ мкКл, $\;|q_2|\approx 9{,}6$ мкКл (заряды разных знаков).