ID: 00016905
К крючку на потолке подвесили на лёгких диэлектрических нитях длиной l = 1 м два одинаковых маленьких шарика массой m = 10 г каждый и сообщили им одинаковые заряды q. После этого шарики оттолкнулись друг от друга, и когда колебания затухли, оказалось, что в положении равновесия угол между нитями равен 2α=60°. Найдите величину и знак зарядов q.
Источник: ФИПИ
l=1 м; \;m=10 г =0{,}01 кг; \;2\alpha=60^\circ\Rightarrow\alpha=30^\circ; \;g=10 м/с^2; \;k=9\cdot10^9 Н·м^2/Кл^2
q — величину и знак зарядов
Представь двух человек, которые висят на одной верёвке с потолка и при этом отталкиваются ладонями, как два одинаковых магнита одним полюсом: каждый отклоняется в свою сторону, и верёвка перестаёт быть вертикальной. Так и шарики: одинаковые заряды отталкиваются, нити расходятся, а угол между ними застывает там, где силы уравновесились.
Рассмотрим один шарик. На него действуют три силы: тяжесть mg вниз, натяжение нити T вдоль нити и кулоновская сила отталкивания F по горизонтали (от второго шарика). Шарик покоится, значит силы уравновешены. Разложим по осям:
T\cos\alpha = mg (вертикаль), \quad T\sin\alpha = F (горизонталь).
Разделим второе на первое — натяжение T уйдёт:
\tan\alpha = \dfrac{F}{mg}\;\Rightarrow\;F = mg\tan\alpha.
Кулоновская сила F=\dfrac{kq^2}{r^2}, где r — расстояние между шариками. Шарики висят из одной точки на нитях длиной l, угол между нитями 2\alpha, поэтому r=2l\sin\alpha. Приравниваем:
\dfrac{kq^2}{(2l\sin\alpha)^2}=mg\tan\alpha\;\Rightarrow\;q=2l\sin\alpha\sqrt{\dfrac{mg\tan\alpha}{k}}.
Сначала найдём r=2\cdot1\cdot\sin30^\circ=2\cdot0{,}5=1 м. Подставляем числа:
q=\sqrt{\dfrac{mg\tan\alpha\cdot r^2}{k}}=\sqrt{\dfrac{0{,}01\cdot10\cdot\tan30^\circ\cdot1^2}{9\cdot10^9}}=\sqrt{\dfrac{0{,}0577}{9\cdot10^9}}\approx2{,}53\cdot10^{-6}\ \text{Кл}.
Получилось q\approx2{,}53 мкКл. Знак зарядов одинаковый (оба «+» либо оба «−») — только одноимённые заряды отталкиваются и разводят нити в стороны.
q = \pm 2{,}53\cdot10^{-6} Кл \approx \pm 2{,}53 мкКл (оба заряда одного знака).