ID: 00016903
Ион зарядом 3,2·10-19 Кл и массой 1,5·10-25 кг проходит ускоряющую разность потенциалов U=1 кВ и после этого попадает в однородное магнитное поле, в котором движется по окружности радиусом R = 0,3 м. Определите модуль индукции магнитного поля B. Считать, что установка находится в вакууме. Силой тяжести и скоростью иона до прохождения ускоряющей разности потенциалов пренебречь.
Источник: ФИПИ
$q=3{,}2\cdot10^{-19}$ Кл; $\;m=1{,}5\cdot10^{-25}$ кг; $\;U=1$ кВ $=1000$ В; $\;R=0{,}3$ м; установка в вакууме; силой тяжести и начальной скоростью пренебречь.
$B$ — модуль индукции магнитного поля.
Сначала ион «разгоняют» напряжением — как горка разгоняет шарик: вся работа электрического поля переходит в кинетическую энергию. Затем разогнанный ион влетает в магнитное поле, и сила Лоренца, всегда перпендикулярная скорости, закручивает его в окружность — как верёвка держит камень при вращении (роль центростремительной силы играет сила Лоренца).
Этап разгона (теорема о кинетической энергии): работа поля $qU$ равна кинетической энергии:
$$qU=\frac{mv^2}{2}\;\Rightarrow\;v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}.$$
Этап в магнитном поле: сила Лоренца — центростремительная, $qvB=\dfrac{mv^2}{R}$, откуда радиус $R=\dfrac{mv}{qB}$. Выражаем $B$ и подставляем $v$:
$$B=\frac{mv}{qR}=\frac{m}{qR}\sqrt{\frac{2qU}{m}}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}.$$
Подставляем числа:
$$B=\frac{1}{0{,}3}\sqrt{\frac{2\cdot1{,}5\cdot10^{-25}\cdot1000}{3{,}2\cdot10^{-19}}}=\frac{1}{0{,}3}\sqrt{9{,}375\cdot10^{-4}}=\frac{0{,}0306}{0{,}3}\approx0{,}10\ \text{Тл}.$$
Итог: $B\approx0{,}1$ Тл. Связка простая: напряжение задаёт скорость, скорость и радиус задают нужное поле.
$B\approx0{,}10$ Тл