ID: 00016902
Цилиндрическая индукционная катушка площадью S = 40 см2, состоящая из N = 2000 витков, находится в однородном магнитном поле с индукцией B0 = 0,5 Тл, направленной параллельно оси катушки. Выводы катушки соединены через резистор с сопротивлением R = 2 кОм. В некоторый момент времени t = 0 индукция магнитного поля начинает изменяться, причём проекция вектора B на направление оси катушки уменьшается от начального значения B0 по закону B(t)=B0-2B0t/τ, где τ=30 с. Какое количество теплоты Q выделится в резисторе R спустя время τ? Сопротивлением катушки можно пренебречь.
Источник: ФИПИ
$S=40$ см$^2=4\cdot10^{-3}$ м$^2$; $\;N=2000$; $\;B_0=0{,}5$ Тл; $\;R=2$ кОм $=2000$ Ом; $\;B(t)=B_0-\dfrac{2B_0 t}{\tau}$; $\;\tau=30$ с; сопротивление катушки $\approx0$.
$Q$ — количество теплоты в резисторе за время $\tau$.
Меняющееся магнитное поле — как насос, который «накачивает» ток в катушку: пока поле меняется, в витках наводится ЭДС. Здесь поле убывает строго равномерно (линейно по времени), значит скорость изменения постоянна, и наведённая ЭДС тоже постоянна, как ровный напор воды.
Скорость изменения поля: $\dfrac{dB}{dt}=-\dfrac{2B_0}{\tau}$ (постоянна). По закону Фарадея для $N$ витков ЭДС (по модулю):
$$\varepsilon=N\,S\left|\frac{dB}{dt}\right|=N S\cdot\frac{2B_0}{\tau}=\frac{2NSB_0}{\tau}.$$
Ток постоянный (сопротивлением катушки пренебрегаем), по закону Ома $I=\dfrac{\varepsilon}{R}$. Теплота по закону Джоуля–Ленца за время $\tau$:
$$Q=I^2R\,\tau=\frac{\varepsilon^2}{R}\tau=\frac{1}{R\tau}\left(2NSB_0\right)^2=\frac{4N^2S^2B_0^2}{R\tau}.$$
Подставляем числа. Удобно сначала $NSB_0=2000\cdot4\cdot10^{-3}\cdot0{,}5=4$ Вб, тогда $\varepsilon=\dfrac{2\cdot4}{30}=\dfrac{8}{30}\approx0{,}267$ В.
$$Q=\frac{\varepsilon^2}{R}\tau=\frac{(0{,}267)^2}{2000}\cdot30\approx\frac{0{,}0711}{2000}\cdot30\approx1{,}07\cdot10^{-3}\ \text{Дж}.$$
Итог: $Q\approx1{,}07$ мДж — совсем немного, ведь и ЭДС небольшая, и сопротивление велико.
$Q\approx1{,}07\cdot10^{-3}$ Дж $\approx1{,}07$ мДж