ID: 00016902
Цилиндрическая индукционная катушка площадью S = 40 см2, состоящая из N = 2000 витков, находится в однородном магнитном поле с индукцией B0 = 0,5 Тл, направленной параллельно оси катушки. Выводы катушки соединены через резистор с сопротивлением R = 2 кОм. В некоторый момент времени t = 0 индукция магнитного поля начинает изменяться, причём проекция вектора B на направление оси катушки уменьшается от начального значения B0 по закону B(t)=B0-2B0t/τ, где τ=30 с. Какое количество теплоты Q выделится в резисторе R спустя время τ? Сопротивлением катушки можно пренебречь.
Источник: ФИПИ
S=40 см^2=4\cdot10^{-3} м^2; \;N=2000; \;B_0=0{,}5 Тл; \;R=2 кОм =2000 Ом; \;B(t)=B_0-\dfrac{2B_0 t}{\tau}; \;\tau=30 с; сопротивление катушки \approx0.
Q — количество теплоты в резисторе за время \tau.
Меняющееся магнитное поле — как насос, который «накачивает» ток в катушку: пока поле меняется, в витках наводится ЭДС. Здесь поле убывает строго равномерно (линейно по времени), значит скорость изменения постоянна, и наведённая ЭДС тоже постоянна, как ровный напор воды.
Скорость изменения поля: \dfrac{dB}{dt}=-\dfrac{2B_0}{\tau} (постоянна). По закону Фарадея для N витков ЭДС (по модулю):
\varepsilon=N\,S\left|\frac{dB}{dt}\right|=N S\cdot\frac{2B_0}{\tau}=\frac{2NSB_0}{\tau}.
Ток постоянный (сопротивлением катушки пренебрегаем), по закону Ома I=\dfrac{\varepsilon}{R}. Теплота по закону Джоуля–Ленца за время \tau:
Q=I^2R\,\tau=\frac{\varepsilon^2}{R}\tau=\frac{1}{R\tau}\left(2NSB_0\right)^2=\frac{4N^2S^2B_0^2}{R\tau}.
Подставляем числа. Удобно сначала NSB_0=2000\cdot4\cdot10^{-3}\cdot0{,}5=4 Вб, тогда \varepsilon=\dfrac{2\cdot4}{30}=\dfrac{8}{30}\approx0{,}267 В.
Q=\frac{\varepsilon^2}{R}\tau=\frac{(0{,}267)^2}{2000}\cdot30\approx\frac{0{,}0711}{2000}\cdot30\approx1{,}07\cdot10^{-3}\ \text{Дж}.
Итог: Q\approx1{,}07 мДж — совсем немного, ведь и ЭДС небольшая, и сопротивление велико.
Q\approx1{,}07\cdot10^{-3} Дж \approx1{,}07 мДж