Термодинамика — Задание 23 ЕГЭ по физике №00016881

Дано:

$\nu=0{,}1$ моль — одноатомный идеальный газ; $\;k=1000$ Н/м — жёсткость пружины; $\;A=10$ см $=0{,}1$ м — амплитуда колебаний; сосуд теплоизолирован, нагревается только газ; $\;R=8{,}31$ Дж/(моль·К).

Найти:

$\Delta T$ — на сколько повысится температура газа.

Решение:

Представь сжатую пружину как заведённую игрушку: в ней «запасена» энергия. Маятник качается, но вязкое трение, как ладонь, тормозящая качели, постепенно гасит колебания — и вся запасённая механическая энергия не исчезает, а переходит в тепло. Сосуд закрыт и теплоизолирован, наружу тепло не уходит, поэтому всё оно достаётся газу и поднимает его температуру.

В крайней точке (амплитуда $A$) скорость груза равна нулю, и вся энергия маятника — это потенциальная энергия деформированной пружины:

$$E=\frac{kA^2}{2}.$$

Когда колебания полностью прекратятся, эта энергия целиком превратится в добавку к внутренней энергии газа: $E=\Delta U$. Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\nu R T$, поэтому её приращение

$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T.$$

Приравниваем и выражаем нагрев:

$$\frac{kA^2}{2}=\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T\;\Rightarrow\;\Delta T=\frac{kA^2}{3\nu R}.$$

Подставляем числа:

$$\Delta T=\frac{1000\cdot 0{,}1^2}{3\cdot 0{,}1\cdot 8{,}31}=\frac{10}{2{,}493}\approx 4{,}0\ \text{К}.$$

Газ нагреется примерно на $4$ К, то есть на $4\,^\circ$C (разность температур по Кельвину и по Цельсию одинаковая).