ID: 00016881
В теплоизолированном сосуде с жёсткими стенками находятся 0,1 моля идеального одноатомного газа и пружинный маятник. Жёсткость пружины маятника 1000 Н/м, амплитуда колебаний его груза 10 см. Считая, что нагревается только газ, найдите, на сколько градусов повысится температура газа после того, как колебания маятника прекратятся из-за действия силы вязкого трения. Ответ округлите до целого числа. Ответ дайте в градусах Цельсия. Влажность
Источник: ФИПИ
$\nu=0{,}1$ моль — одноатомный идеальный газ; $\;k=1000$ Н/м — жёсткость пружины; $\;A=10$ см $=0{,}1$ м — амплитуда колебаний; сосуд теплоизолирован, нагревается только газ; $\;R=8{,}31$ Дж/(моль·К).
$\Delta T$ — на сколько повысится температура газа.
Представь сжатую пружину как заведённую игрушку: в ней «запасена» энергия. Маятник качается, но вязкое трение, как ладонь, тормозящая качели, постепенно гасит колебания — и вся запасённая механическая энергия не исчезает, а переходит в тепло. Сосуд закрыт и теплоизолирован, наружу тепло не уходит, поэтому всё оно достаётся газу и поднимает его температуру.
В крайней точке (амплитуда $A$) скорость груза равна нулю, и вся энергия маятника — это потенциальная энергия деформированной пружины:
$$E=\frac{kA^2}{2}.$$
Когда колебания полностью прекратятся, эта энергия целиком превратится в добавку к внутренней энергии газа: $E=\Delta U$. Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\nu R T$, поэтому её приращение
$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T.$$
Приравниваем и выражаем нагрев:
$$\frac{kA^2}{2}=\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T\;\Rightarrow\;\Delta T=\frac{kA^2}{3\nu R}.$$
Подставляем числа:
$$\Delta T=\frac{1000\cdot 0{,}1^2}{3\cdot 0{,}1\cdot 8{,}31}=\frac{10}{2{,}493}\approx 4{,}0\ \text{К}.$$
Газ нагреется примерно на $4$ К, то есть на $4\,^\circ$C (разность температур по Кельвину и по Цельсию одинаковая).
$\Delta T \approx 4$ К (на $\approx 4\,^\circ$C)