ID: 00016879
Свинцовая пуля массой m1 = 8 г при температуре t1 = 100 °C, летящая со скоростью υ = 400 м/с, попадает в неподвижную медную сферу массой m2 = 200 г, содержащую внутри лёд массой m3 = 50 г при температуре t2 = 0 °C, и застревает там, при этом сфера не вращается. Какая температура t3 установится в системе после достижения теплового равновесия, если пуля и сфера находятся в невесомости и не обмениваются теплотой с другими телами?
Источник: ФИПИ
$m_1=8$ г $=0{,}008$ кг — свинцовая пуля, $t_1=100\,^\circ\text{C}$, $\upsilon=400$ м/с; $m_2=200$ г $=0{,}2$ кг — медная сфера, $t_2=0\,^\circ\text{C}$; $m_3=50$ г $=0{,}05$ кг — лёд внутри, $t_2=0\,^\circ\text{C}$. Система в невесомости, теплопотерь нет.
Табличные: $c_{\text{св}}=130$ Дж/(кг$\cdot$К), $\lambda_{\text{льда}}=3{,}3\cdot10^{5}$ Дж/кг.
$t_3$ — установившуюся температуру системы.
Это задача-ловушка. Соблазн сразу написать уравнение теплового баланса и «нагреть» воду — но сначала надо, как кассир, проверить: хватит ли «денег» (энергии), чтобы вообще растопить весь лёд. Лёд при $0\,^\circ\text{C}$ — как стена: пока он не растаял весь, температура с места не сдвинется, вся энергия уходит в плавление.
Сколько энергии выделится? Во-первых, кинетическая энергия пули целиком переходит в тепло при ударе (система в невесомости и не вращается, внешних потерь нет):
$E_{\text{к}}=\dfrac{m_1\upsilon^{2}}{2}=\dfrac{0{,}008\cdot400^{2}}{2}=640\ \text{Дж}.$
Во-вторых, горячая пуля остывает со $100\,^\circ\text{C}$ до $0\,^\circ\text{C}$ и тоже отдаёт тепло:
$Q_{\text{пули}}=c_{\text{св}}m_1(t_1-0)=130\cdot0{,}008\cdot100=104\ \text{Дж}.$
Итого в запасе:
$E=E_{\text{к}}+Q_{\text{пули}}=640+104=744\ \text{Дж}.$
А сколько нужно, чтобы расплавить весь лёд?
$Q_{\text{пл}}=\lambda_{\text{льда}}\,m_3=3{,}3\cdot10^{5}\cdot0{,}05=16500\ \text{Дж}.$
Сравниваем: $744$ Дж $\ll 16500$ Дж. Энергии хватает растопить лишь крошечную часть льда (около $\Delta m=\dfrac{E}{\lambda}=\dfrac{744}{3{,}3\cdot10^{5}}\approx2{,}3$ г из $50$ г). Значит лёд тает лишь чуть-чуть, и в системе остаётся смесь воды и льда. Пока в сосуде одновременно есть лёд и вода, температура держится на точке плавления:
$t_3=0\,^\circ\text{C}.$
Медь греть и считать её теплоёмкость не нужно: она и так уже при $0\,^\circ\text{C}$, а выше система подняться не может — не хватает энергии разделаться со льдом.
$t_3=0\,^\circ\text{C}$ (энергии хватает растопить лишь ~2,3 г льда, поэтому смесь лёд+вода остаётся при $0\,^\circ\text{C}$).