ID: 00016878
Некоторое количество идеального газа находится в объёме V1 = 30 л под давлением p1 = 2,5 · 104 Па при температуре T1 = 100 К. Какое количество теплоты ΔQ надо подвести к газу для его нагревания до температуры T2= 300 К в процессе, при котором молярная теплоёмкость этого газа зависит от температуры по закону Cм = aT, где a = 0,25 Дж/(моль·К2)?
Источник: ФИПИ
V_1=30 л =0{,}03 м^3; \;p_1=2{,}5\cdot10^4 Па; \;T_1=100 К; \;T_2=300 К; \;C_M=aT, \;a=0{,}25 Дж/(моль\cdotК^2); \;R=8{,}31 Дж/(моль\cdotК).
\Delta Q — количество теплоты для нагрева газа от T_1 до T_2.
Обычно «цена нагрева на один градус» (теплоёмкость) постоянна — как фиксированный тариф за киловатт. А здесь тариф «плавающий»: чем горячее газ, тем дороже обходится каждый следующий градус, ведь C_M=aT растёт с температурой. Значит просто умножить на разность температур нельзя — надо складывать вклады градус за градусом, то есть взять интеграл.
Сначала узнаем, сколько вещества греем. Газ идеальный, для начального состояния запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:
p_1V_1=\nu R T_1\;\Rightarrow\;\nu=\dfrac{p_1V_1}{R T_1}.
Теперь само тепло. На малый нагрев dT нужна порция \delta Q=\nu\,C_M\,dT=\nu\,aT\,dT. Суммируем все порции от T_1 до T_2:
\Delta Q=\int_{T_1}^{T_2}\nu\,aT\,dT=\nu a\,\dfrac{T_2^{2}-T_1^{2}}{2}.
Подставляем \nu в общую формулу:
\Delta Q=\dfrac{p_1V_1}{RT_1}\cdot\dfrac{a\,(T_2^{2}-T_1^{2})}{2}.
Считаем количество вещества:
\nu=\dfrac{2{,}5\cdot10^{4}\cdot0{,}03}{8{,}31\cdot100}=\dfrac{750}{831}\approx0{,}903 моль.
И само тепло:
\Delta Q=0{,}903\cdot\dfrac{0{,}25\,(300^{2}-100^{2})}{2}=0{,}903\cdot\dfrac{0{,}25\cdot80000}{2}=0{,}903\cdot10000\approx9025\ \text{Дж}.
Понадобится около 9025 Дж \approx9{,}0 кДж. Главное здесь — не умножать на \Delta T напрямую, а проинтегрировать: из-за роста теплоёмкости «верхние» градусы стоят дороже «нижних».
\Delta Q\approx9025 Дж \approx9{,}0 кДж.