МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016878

Дано:

$V_1=30$ л $=0{,}03$ м$^3$; $\;p_1=2{,}5\cdot10^4$ Па; $\;T_1=100$ К; $\;T_2=300$ К; $\;C_M=aT$, $\;a=0{,}25$ Дж/(моль$\cdot$К$^2$); $\;R=8{,}31$ Дж/(моль$\cdot$К).

Найти:

$\Delta Q$ — количество теплоты для нагрева газа от $T_1$ до $T_2$.

Решение:

Обычно «цена нагрева на один градус» (теплоёмкость) постоянна — как фиксированный тариф за киловатт. А здесь тариф «плавающий»: чем горячее газ, тем дороже обходится каждый следующий градус, ведь $C_M=aT$ растёт с температурой. Значит просто умножить на разность температур нельзя — надо складывать вклады градус за градусом, то есть взять интеграл.

Сначала узнаем, сколько вещества греем. Газ идеальный, для начального состояния запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

$p_1V_1=\nu R T_1\;\Rightarrow\;\nu=\dfrac{p_1V_1}{R T_1}.$

Теперь само тепло. На малый нагрев $dT$ нужна порция $\delta Q=\nu\,C_M\,dT=\nu\,aT\,dT$. Суммируем все порции от $T_1$ до $T_2$:

$\Delta Q=\int_{T_1}^{T_2}\nu\,aT\,dT=\nu a\,\dfrac{T_2^{2}-T_1^{2}}{2}.$

Подставляем $\nu$ в общую формулу:

$\Delta Q=\dfrac{p_1V_1}{RT_1}\cdot\dfrac{a\,(T_2^{2}-T_1^{2})}{2}.$

Считаем количество вещества:

$\nu=\dfrac{2{,}5\cdot10^{4}\cdot0{,}03}{8{,}31\cdot100}=\dfrac{750}{831}\approx0{,}903$ моль.

И само тепло:

$\Delta Q=0{,}903\cdot\dfrac{0{,}25\,(300^{2}-100^{2})}{2}=0{,}903\cdot\dfrac{0{,}25\cdot80000}{2}=0{,}903\cdot10000\approx9025\ \text{Дж}.$

Понадобится около $9025$ Дж $\approx9{,}0$ кДж. Главное здесь — не умножать на $\Delta T$ напрямую, а проинтегрировать: из-за роста теплоёмкости «верхние» градусы стоят дороже «нижних».