ID: 00016875
В сосуд с водой при температуре t1 = 50 °С опускают шарик с температурой t2. После установления теплового равновесия температура стала t3 = 40 °C. Не вынимая первый шарик, в сосуд опускает еще один шарик с температурой t2. После установления теплового равновесия t4 = 34 °С. Найдите температуру шариков t2. Теплообменом с окружающей средой и сосудом можно пренебречь.
Источник: ФИПИ
Вода при t_1=50\ ^\circ\text{C}; первый шарик при t_2 (ищем) \Rightarrow равновесие t_3=40\ ^\circ\text{C}; не вынимая, добавили второй такой же шарик при t_2 \Rightarrow равновесие t_4=34\ ^\circ\text{C}.
t_2 — температуру шариков.
Тепло перетекает от тёплого к холодному, как вода из полного стакана в пустой, пока уровни не сравняются. Введём «теплоёмкости»: для воды C=c_\text{в}M, для одного шарика c=c_\text{ш}m (конкретные c,M не нужны — важна только их «вместимость» тепла). Шарики одинаковые, у каждого вместимость c.
Первое погружение. Вода остыла 50\to40, шарик нагрелся t_2\to40. Что вода отдала, то шарик принял:
C\,(50-40)=c\,(40-t_2).\quad(1)
Второе погружение. Теперь в воде уже плавает первый шарик — они вместе при 40\ ^\circ\text{C}, их общая вместимость (C+c). Опускаем второй холодный шарик при t_2, всё приходит к 34\ ^\circ\text{C}:
(C+c)\,(40-34)=c\,(34-t_2).\quad(2)
Поделим, чтобы убрать неизвестные C и c по отдельности. Из (1): 10C=c\,(40-t_2). Из (2): 6(C+c)=c\,(34-t_2). Выразим C=\dfrac{c\,(40-t_2)}{10} и подставим во (2):
6\left(\dfrac{c(40-t_2)}{10}+c\right)=c\,(34-t_2).
Сократим на c и умножим на 10:
6\,(40-t_2)+60=10\,(34-t_2)\;\Rightarrow\;240-6t_2+60=340-10t_2,
4t_2=40\;\Rightarrow\;t_2=10\ ^\circ\text{C}.
Шарики были при 10\ ^\circ\text{C}. Проверка по смыслу: при втором разе вода уже «утяжелилась» первым шариком, поэтому остыла сильнее (на 6, а не на 4 градуса) — всё сходится.
t_2=10\ ^\circ\text{C}