ID: 00016866
В комнате размером 3⋅5⋅6 м при температуре 20 °C влажность воздуха равна 35%. После включения увлажнителя воздуха, производительность которого равна 0,36 л/ч, влажность в комнате стала равна 70%. За какое время это произошло? Давление насыщенного пара при 20 °C равно 2,33 кПа.
Источник: ФИПИ
$a\times b\times c=3\times5\times6$ м; $\;t=20\,^\circ\text{C}=293$ К; $\;\varphi_1=35\%=0{,}35$; $\;\varphi_2=70\%=0{,}7$; производительность $q=0{,}36$ л/ч; $\;p_\text{н}=2{,}33$ кПа; $\;M=18$ г/моль $=0{,}018$ кг/моль; $\;R=8{,}31$ Дж/(моль·К).
$\tau$ — время работы увлажнителя.
Увлажнитель — как кран, капающий воду в воздух с постоянной скоростью. Чтобы узнать время, найдём, сколько всего воды нужно «накапать», и поделим на скорость капания.
Объём комнаты: $V=3\cdot5\cdot6=90\ \text{м}^3$.
Водяной пар — идеальный газ. Его масса в комнате связана с парциальным давлением через уравнение Менделеева — Клапейрона: $p_\text{п}V=\dfrac{m}{M}RT$, откуда $m=\dfrac{p_\text{п}MV}{RT}$. А парциальное давление выражается через влажность: $p_\text{п}=\varphi p_\text{н}$.
Нужная добавка массы пара (температура и объём те же, меняется лишь влажность):
$\Delta m=\dfrac{(\varphi_2-\varphi_1)\,p_\text{н}\,M\,V}{RT}=\dfrac{(0{,}7-0{,}35)\cdot2330\cdot0{,}018\cdot90}{8{,}31\cdot293}\approx0{,}543\ \text{кг}.$
Увлажнитель добавляет $q=0{,}36$ л/ч, а $1$ л воды $=1$ кг, то есть $0{,}36$ кг/ч. Время:
$\tau=\dfrac{\Delta m}{q}=\dfrac{0{,}543}{0{,}36}\approx1{,}5\ \text{ч}.$
Получилось около $1{,}5$ часа. Полтора литра «недостающей» влаги при такой скорости капания набираются именно за это время.
$\tau\approx1{,}5$ ч