ID: 00016865
Сосуд разделён тонкой перегородкой на две части, отношение объемов которых V2/V1 = 3. В первой части сосуда находится воздух с относительной влажностью ф1 = 80%. Если убрать перегородку, то относительная влажность воздуха в сосудах после установления теплового равновесия будет равна 50%. Определите начальную влажность во втором сосуде, считая, что температура воздуха в частях сосуда одинакова и не изменилась после снятия перегородки.
Источник: ФИПИ
\dfrac{V_2}{V_1}=3; \;\varphi_1=80\%=0{,}8 — влажность в первой части; \;\varphi=50\%=0{,}5 — влажность после снятия перегородки; температура одинакова и не меняется.
\varphi_2 — начальную влажность во второй части.
Представь два стакана с водяным паром. В каждом стакане «насыщенность» считают не по массе, а по тому, какую долю от предела он занимает. Предел (давление насыщенного пара p_\text{н}) зависит только от температуры — а она у нас одна и та же, и до, и после. Значит «линейка насыщенности» одинаковая везде.
Относительная влажность — это доля от насыщения: \varphi=\dfrac{p}{p_\text{н}}, где p — парциальное давление водяного пара. Тогда давление пара в первой части p_1=\varphi_1 p_\text{н}, во второй p_2=\varphi_2 p_\text{н}.
Пар — идеальный газ. При постоянной температуре количество газа пропорционально произведению p\cdot V (из pV=\nu RT). Когда перегородку убирают, весь пар занимает общий объём V_1+V_2, а его количество просто складывается (пар не конденсируется, ведь итог 50\%\lt 100\%):
p\,(V_1+V_2)=p_1 V_1+p_2 V_2.
Делим всё на p_\text{н} — она сокращается, остаются одни влажности:
\varphi\,(V_1+V_2)=\varphi_1 V_1+\varphi_2 V_2.
Выражаем искомую влажность и подставляем V_2=3V_1 (берём V_1=1, V_2=3, сумма =4):
\varphi_2=\dfrac{\varphi\,(V_1+V_2)-\varphi_1 V_1}{V_2}=\dfrac{0{,}5\cdot4-0{,}8\cdot1}{3}=\dfrac{1{,}2}{3}=0{,}4=40\%.
Итого во второй части воздух был суше: влажность 40\%. Это логично — общая «середина» 50\% тянется вниз более сухой и притом втрое большей второй частью.
\varphi_2=40\%