ID: 00016862
В начальный момент времени газ имел давление p1 = 1,8⋅105 Па, при t = 100 °C. Затем газ изотермически сжали в k = 4 раз. В результате давление газа увеличилось в 3 раза. Определите относительную влажность в начальный момент времени. Потерями вещества пренебречь.
Источник: ФИПИ
p_1=1{,}8\cdot10^{5} Па; \;t=100\,^\circ\text{C}=373 К (изотерма); \;k=4 (сжатие в 4 раза); итоговое давление возросло в 3 раза; \;p_{\text{н}}=1{,}013\cdot10^{5} Па.
\varphi — начальную относительную влажность.
Снова «двое в лодке»: сухой воздух и водяной пар. По Дальтону общее давление — их сумма, а у пара есть потолок p_{\text{н}}, выше которого он не поднимется — лишнее выпадет росой. Логика та же, что у переполненного лифта: воздух можно сжимать и дальше, а пар, добравшись до потолка, «выходит».
Начальное давление пара p_{\text{п}}, сухого воздуха p_{\text{с}}=p_1-p_{\text{п}}. Сжимаем изотермически в k=4 раза.
Сухой воздух — обычный газ, по Бойлю–Мариотту его давление вырастает в 4 раза: 4p_{\text{с}}. Пар при сжатии насыщается, его давление застывает на потолке: p_{\text{п,кон}}=p_{\text{н}}.
Итоговое давление по условию в 3 раза больше начального:
4p_{\text{с}}+p_{\text{н}}=3p_1\;\Rightarrow\;4(p_1-p_{\text{п}})+p_{\text{н}}=3p_1.
Отсюда 4p_{\text{п}}=4p_1+p_{\text{н}}-3p_1=p_1+p_{\text{н}}, то есть
p_{\text{п}}=\dfrac{p_1+p_{\text{н}}}{4}=\dfrac{1{,}8\cdot10^{5}+1{,}013\cdot10^{5}}{4}\approx0{,}703\cdot10^{5}\ \text{Па}.
Относительная влажность:
\varphi=\dfrac{p_{\text{п}}}{p_{\text{н}}}=\dfrac{0{,}703\cdot10^{5}}{1{,}013\cdot10^{5}}\approx0{,}69=69\%\approx70\%.
Проверка насыщения: 4p_{\text{п}}\approx2{,}8\cdot10^{5} Па \gg p_{\text{н}} — пар точно насытился, предположение верно.
\varphi\approx 70\% (точнее \approx69\% при p_{\text{н}}=101{,}3 кПа).