Дано:

p_1=100 кПа; \;t=100\,^\circ\text{C}=373 К; \;p_{\text{н}}=101{,}3 кПа (давление насыщенного пара воды при 100\,^\circ\text{C}). Процесс А — изотерма, V уменьшают в 3 раза. Процесс Б — изохора, T увеличивают в 1{,}6 раза. Итоговые давления в А и Б равны.

Найти:

\varphi — начальную относительную влажность.

Решение:

Влажный воздух — это «двое в лодке»: сухой воздух и водяной пар, общее давление по Дальтону — их сумма. У пара есть потолок p_{\text{н}}: упёрся — лишнее выпадает росой. Нам дали два разных эксперимента с одинаковым итогом по давлению — это как два пути в одну точку: приравняем финалы и найдём, сколько было пара вначале.

Обозначим начальное давление пара p_{\text{п}}, тогда сухого воздуха p_{\text{с}}=p_1-p_{\text{п}}.

Путь Б (изохора, нагрев в 1{,}6 раза). При постоянном объёме давление пропорционально температуре (Шарль), пар при нагреве не насыщается (потолок p_{\text{н}} с ростом T только поднимается). Поэтому всё давление растёт в 1{,}6 раза:

p_{\text{Б}}=1{,}6\,p_1=1{,}6\cdot100=160\ \text{кПа}.

Путь А (изотерма, сжатие в 3 раза). Сухой воздух — обычный газ, его давление растёт втрое: 3p_{\text{с}}. Пар «хотел бы» тоже втрое, но при сжатии быстро упирается в потолок и насыщается, так что p_{\text{п,А}}=p_{\text{н}}:

p_{\text{А}}=3p_{\text{с}}+p_{\text{н}}=3(p_1-p_{\text{п}})+p_{\text{н}}.

Приравниваем p_{\text{А}}=p_{\text{Б}}:

3(p_1-p_{\text{п}})+p_{\text{н}}=1{,}6p_1\;\Rightarrow\;3p_{\text{п}}=3p_1+p_{\text{н}}-1{,}6p_1=1{,}4p_1+p_{\text{н}}.

p_{\text{п}}=\dfrac{1{,}4\cdot100+101{,}3}{3}=\dfrac{241{,}3}{3}\approx80{,}4\ \text{кПа}.

Относительная влажность:

\varphi=\dfrac{p_{\text{п}}}{p_{\text{н}}}=\dfrac{80{,}4}{101{,}3}\approx0{,}79=79\%\approx80\%.

Проверка, что пар в пути А действительно насыщается: 3p_{\text{п}}=241 кПа намного больше потолка 101{,}3 кПа — да, насыщается, предположение верно. (Если округлить p_{\text{н}}\approx100 кПа, получится ровно 80\%.)