МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016861

Дано:

$p_1=100$ кПа; $\;t=100\,^\circ\text{C}=373$ К; $\;p_{\text{н}}=101{,}3$ кПа (давление насыщенного пара воды при $100\,^\circ\text{C}$). Процесс А — изотерма, $V$ уменьшают в 3 раза. Процесс Б — изохора, $T$ увеличивают в $1{,}6$ раза. Итоговые давления в А и Б равны.

Найти:

$\varphi$ — начальную относительную влажность.

Решение:

Влажный воздух — это «двое в лодке»: сухой воздух и водяной пар, общее давление по Дальтону — их сумма. У пара есть потолок $p_{\text{н}}$: упёрся — лишнее выпадает росой. Нам дали два разных эксперимента с одинаковым итогом по давлению — это как два пути в одну точку: приравняем финалы и найдём, сколько было пара вначале.

Обозначим начальное давление пара $p_{\text{п}}$, тогда сухого воздуха $p_{\text{с}}=p_1-p_{\text{п}}$.

Путь Б (изохора, нагрев в $1{,}6$ раза). При постоянном объёме давление пропорционально температуре (Шарль), пар при нагреве не насыщается (потолок $p_{\text{н}}$ с ростом $T$ только поднимается). Поэтому всё давление растёт в $1{,}6$ раза:

$p_{\text{Б}}=1{,}6\,p_1=1{,}6\cdot100=160\ \text{кПа}.$

Путь А (изотерма, сжатие в 3 раза). Сухой воздух — обычный газ, его давление растёт втрое: $3p_{\text{с}}$. Пар «хотел бы» тоже втрое, но при сжатии быстро упирается в потолок и насыщается, так что $p_{\text{п,А}}=p_{\text{н}}$:

$p_{\text{А}}=3p_{\text{с}}+p_{\text{н}}=3(p_1-p_{\text{п}})+p_{\text{н}}.$

Приравниваем $p_{\text{А}}=p_{\text{Б}}$:

$3(p_1-p_{\text{п}})+p_{\text{н}}=1{,}6p_1\;\Rightarrow\;3p_{\text{п}}=3p_1+p_{\text{н}}-1{,}6p_1=1{,}4p_1+p_{\text{н}}.$

$p_{\text{п}}=\dfrac{1{,}4\cdot100+101{,}3}{3}=\dfrac{241{,}3}{3}\approx80{,}4\ \text{кПа}.$

Относительная влажность:

$\varphi=\dfrac{p_{\text{п}}}{p_{\text{н}}}=\dfrac{80{,}4}{101{,}3}\approx0{,}79=79\%\approx80\%.$

Проверка, что пар в пути А действительно насыщается: $3p_{\text{п}}=241$ кПа намного больше потолка $101{,}3$ кПа — да, насыщается, предположение верно. (Если округлить $p_{\text{н}}\approx100$ кПа, получится ровно $80\%$.)