ID: 00016858
Идеальный тепловой двигатель 1, работающий по циклу Карно, имеет температуру нагревателя Тн1 = 800 °C и холодильника — Тх1 = 0 °C, потребляя за цикл количество теплоты Q+. Система из двух других идеальных тепловых двигателей 2 и 3 действует следующим образом. Двигатель 2 с той же температурой нагревателя Тн2 = Тн1 и тем же потреблением теплоты за цикл Q+, что и двигатель 1, имеет температуру холодильника Тх2 = 60 °C = Тн3, и этот холодильник является нагревателем для двигателя 3, отдавая ему все количество теплоты, полученное от двигателя 2, причём холодильник двигателя 3 имеет ту же температуру, что и у двигателя 1 : Тх3 = Тх1. Найдите, во сколько раз работа A1, производимая двигателем 1 за цикл, отличается от суммарной работы A2 + A3 двигателей 2 и 3.
Источник: ФИПИ
$T_{\text{н}1}=800\,^\circ\text{C}=1073$ К; $\;T_{\text{х}1}=0\,^\circ\text{C}=273$ К; потребляемая теплота за цикл $Q^{+}$. Двигатель 2: $T_{\text{н}2}=T_{\text{н}1}=1073$ К, та же $Q^{+}$, $T_{\text{х}2}=60\,^\circ\text{C}=333$ К $=T_{\text{н}3}$. Двигатель 3: $T_{\text{н}3}=333$ К, $T_{\text{х}3}=T_{\text{х}1}=273$ К, получает всю теплоту, отданную холодильником двигателя 2.
$\dfrac{A_1}{A_2+A_3}$ — во сколько раз отличаются работы.
Представь тепловую машину как водяную мельницу: вода (теплота) падает с верхнего пруда ($T_{\text{н}}$) в нижний ($T_{\text{х}}$), и чем больше перепад высот, тем больше работы. У машины Карно «полезная доля» (КПД) зависит только от температур: $\eta=1-\dfrac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}$. А связка из двух машин (2 и 3) — это как два колеса на одной реке: вся вода, упавшая с первого колеса, тут же крутит второе. Поэтому суммарно вода падает с той же верхней высоты до той же нижней, что и у одиночной машины 1.
Работа одиночной машины 1: $A_1=\eta_1 Q^{+}=\left(1-\dfrac{T_{\text{х}1}}{T_{\text{н}1}}\right)Q^{+}$.
Машина 2 берёт ту же $Q^{+}$: её работа $A_2=\left(1-\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}2}}\right)Q^{+}$, а холодильнику отдаёт $Q_2=Q^{+}-A_2=\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}2}}\,Q^{+}$. Вся эта теплота поступает в машину 3 (нагреватель которой — холодильник двойки): $A_3=\left(1-\dfrac{T_{\text{х}3}}{T_{\text{н}3}}\right)Q_2$.
Так как $T_{\text{н}2}=T_{\text{н}1}$, $T_{\text{н}3}=T_{\text{х}2}$ и $T_{\text{х}3}=T_{\text{х}1}$, сложим работы пары и подставим $Q_2$:
$A_2+A_3=\left(1-\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}1}}\right)Q^{+}+\left(1-\dfrac{T_{\text{х}1}}{T_{\text{х}2}}\right)\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}1}}Q^{+}.$
Раскроем второе слагаемое: $\left(\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}1}}-\dfrac{T_{\text{х}1}}{T_{\text{н}1}}\right)Q^{+}$. Тогда
$A_2+A_3=\left(1-\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}1}}+\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}1}}-\dfrac{T_{\text{х}1}}{T_{\text{н}1}}\right)Q^{+}=\left(1-\dfrac{T_{\text{х}1}}{T_{\text{н}1}}\right)Q^{+}=A_1.$
Промежуточная температура $T_{\text{х}2}$ сократилась полностью! Значит $\dfrac{A_1}{A_2+A_3}=1$ — каскад из двух машин Карно между теми же крайними температурами даёт ровно столько же работы, сколько одна машина. Проверка числами: $\eta_1=1-273/1073\approx0{,}746$, а $A_2+A_3=0{,}690\,Q^{+}+0{,}180\cdot0{,}310\,Q^{+}\approx0{,}746\,Q^{+}$ — совпало.
$\dfrac{A_1}{A_2+A_3}=1$ (работы равны).