ID: 00016858
Идеальный тепловой двигатель 1, работающий по циклу Карно, имеет температуру нагревателя Тн1 = 800 °C и холодильника — Тх1 = 0 °C, потребляя за цикл количество теплоты Q+. Система из двух других идеальных тепловых двигателей 2 и 3 действует следующим образом. Двигатель 2 с той же температурой нагревателя Тн2 = Тн1 и тем же потреблением теплоты за цикл Q+, что и двигатель 1, имеет температуру холодильника Тх2 = 60 °C = Тн3, и этот холодильник является нагревателем для двигателя 3, отдавая ему все количество теплоты, полученное от двигателя 2, причём холодильник двигателя 3 имеет ту же температуру, что и у двигателя 1 : Тх3 = Тх1. Найдите, во сколько раз работа A1, производимая двигателем 1 за цикл, отличается от суммарной работы A2 + A3 двигателей 2 и 3.
Источник: ФИПИ
T_{\text{н}1}=800\,^\circ\text{C}=1073 К; \;T_{\text{х}1}=0\,^\circ\text{C}=273 К; потребляемая теплота за цикл Q^{+}. Двигатель 2: T_{\text{н}2}=T_{\text{н}1}=1073 К, та же Q^{+}, T_{\text{х}2}=60\,^\circ\text{C}=333 К =T_{\text{н}3}. Двигатель 3: T_{\text{н}3}=333 К, T_{\text{х}3}=T_{\text{х}1}=273 К, получает всю теплоту, отданную холодильником двигателя 2.
\dfrac{A_1}{A_2+A_3} — во сколько раз отличаются работы.
Представь тепловую машину как водяную мельницу: вода (теплота) падает с верхнего пруда (T_{\text{н}}) в нижний (T_{\text{х}}), и чем больше перепад высот, тем больше работы. У машины Карно «полезная доля» (КПД) зависит только от температур: \eta=1-\dfrac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}. А связка из двух машин (2 и 3) — это как два колеса на одной реке: вся вода, упавшая с первого колеса, тут же крутит второе. Поэтому суммарно вода падает с той же верхней высоты до той же нижней, что и у одиночной машины 1.
Работа одиночной машины 1: A_1=\eta_1 Q^{+}=\left(1-\dfrac{T_{\text{х}1}}{T_{\text{н}1}}\right)Q^{+}.
Машина 2 берёт ту же Q^{+}: её работа A_2=\left(1-\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}2}}\right)Q^{+}, а холодильнику отдаёт Q_2=Q^{+}-A_2=\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}2}}\,Q^{+}. Вся эта теплота поступает в машину 3 (нагреватель которой — холодильник двойки): A_3=\left(1-\dfrac{T_{\text{х}3}}{T_{\text{н}3}}\right)Q_2.
Так как T_{\text{н}2}=T_{\text{н}1}, T_{\text{н}3}=T_{\text{х}2} и T_{\text{х}3}=T_{\text{х}1}, сложим работы пары и подставим Q_2:
A_2+A_3=\left(1-\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}1}}\right)Q^{+}+\left(1-\dfrac{T_{\text{х}1}}{T_{\text{х}2}}\right)\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}1}}Q^{+}.
Раскроем второе слагаемое: \left(\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}1}}-\dfrac{T_{\text{х}1}}{T_{\text{н}1}}\right)Q^{+}. Тогда
A_2+A_3=\left(1-\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}1}}+\dfrac{T_{\text{х}2}}{T_{\text{н}1}}-\dfrac{T_{\text{х}1}}{T_{\text{н}1}}\right)Q^{+}=\left(1-\dfrac{T_{\text{х}1}}{T_{\text{н}1}}\right)Q^{+}=A_1.
Промежуточная температура T_{\text{х}2} сократилась полностью! Значит \dfrac{A_1}{A_2+A_3}=1 — каскад из двух машин Карно между теми же крайними температурами даёт ровно столько же работы, сколько одна машина. Проверка числами: \eta_1=1-273/1073\approx0{,}746, а A_2+A_3=0{,}690\,Q^{+}+0{,}180\cdot0{,}310\,Q^{+}\approx0{,}746\,Q^{+} — совпало.
\dfrac{A_1}{A_2+A_3}=1 (работы равны).