МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016857

Дано:

$\nu=1$ моль (одноатомный газ); $\;V_1=15$ л $=0{,}015$ м³; $\;p_1=10^5$ Па; $\;V_2=30$ л $=0{,}030$ м³; $\;$процесс 2→3 по закону $p=kV$ до объёма $V_1$

Найти:

$A$ — полную работу газа за весь процесс

Решение:

Работа газа — это площадь под графиком процесса на диаграмме $p\,$–$\,V$, как площадь участка земли под забором переменной высоты. Процесс из двух кусков, поэтому сложим две площади, не забывая про знаки: когда газ расширяется ($V$ растёт) — работа положительная, когда сжимается ($V$ падает) — отрицательная.

Участок 1→2 — изобарный (давление постоянно, $p_1=10^5$ Па), объём растёт от $V_1$ до $V_2$. Работа — площадь прямоугольника:

$A_{12}=p_1\,(V_2-V_1)=10^5\cdot(0{,}030-0{,}015)=1500\ \text{Дж}.$

Участок 2→3 — сжатие по закону $p=kV$ обратно до $V_1$. Коэффициент $k$ найдём из точки 2, где $p=p_1$, $V=V_2$: $k=\dfrac{p_1}{V_2}$. График $p=kV$ — прямая через начало координат, площадь под ней при сжатии от $V_2$ до $V_1$ это площадь трапеции со знаком минус:

$A_{23}=\dfrac{k}{2}\,(V_1^2-V_2^2)=\dfrac{p_1}{2V_2}\,(V_1^2-V_2^2).$

Считаем: $\dfrac{p_1}{2V_2}=\dfrac{10^5}{2\cdot0{,}030}\approx1{,}667\cdot10^6$, а $V_1^2-V_2^2=0{,}015^2-0{,}030^2=2{,}25\cdot10^{-4}-9\cdot10^{-4}=-6{,}75\cdot10^{-4}$. Тогда

$A_{23}=1{,}667\cdot10^{6}\cdot(-6{,}75\cdot10^{-4})=-1125\ \text{Дж}.$

Полная работа газа за оба участка:

$A=A_{12}+A_{23}=1500+(-1125)=375\ \text{Дж}.$

Итог положительный: на расширении газ отдал больше работы, чем «забрал» на сжатии, поэтому суммарно газ совершил $A=375$ Дж.