ID: 00016857
Один моль идеального одноатомного газа сначала перевели в изобарическом процессе из состояния с объёмом V1 = 15 л и давлением p1 = 105 Па в состояние с объёмом V2 = 30 л, а затем сжали его до начального объёма V1 в процессе, происходящем по закону p = kV, где k — некоторый постоянный коэффициент. Какую работу Асовершил газ за весь процесс?
Источник: ФИПИ
\nu=1 моль (одноатомный газ); \;V_1=15 л =0{,}015 м³; \;p_1=10^5 Па; \;V_2=30 л =0{,}030 м³; \;процесс 2→3 по закону p=kV до объёма V_1
A — полную работу газа за весь процесс
Работа газа — это площадь под графиком процесса на диаграмме p\,–\,V, как площадь участка земли под забором переменной высоты. Процесс из двух кусков, поэтому сложим две площади, не забывая про знаки: когда газ расширяется (V растёт) — работа положительная, когда сжимается (V падает) — отрицательная.
Участок 1→2 — изобарный (давление постоянно, p_1=10^5 Па), объём растёт от V_1 до V_2. Работа — площадь прямоугольника:
A_{12}=p_1\,(V_2-V_1)=10^5\cdot(0{,}030-0{,}015)=1500\ \text{Дж}.
Участок 2→3 — сжатие по закону p=kV обратно до V_1. Коэффициент k найдём из точки 2, где p=p_1, V=V_2: k=\dfrac{p_1}{V_2}. График p=kV — прямая через начало координат, площадь под ней при сжатии от V_2 до V_1 это площадь трапеции со знаком минус:
A_{23}=\dfrac{k}{2}\,(V_1^2-V_2^2)=\dfrac{p_1}{2V_2}\,(V_1^2-V_2^2).
Считаем: \dfrac{p_1}{2V_2}=\dfrac{10^5}{2\cdot0{,}030}\approx1{,}667\cdot10^6, а V_1^2-V_2^2=0{,}015^2-0{,}030^2=2{,}25\cdot10^{-4}-9\cdot10^{-4}=-6{,}75\cdot10^{-4}. Тогда
A_{23}=1{,}667\cdot10^{6}\cdot(-6{,}75\cdot10^{-4})=-1125\ \text{Дж}.
Полная работа газа за оба участка:
A=A_{12}+A_{23}=1500+(-1125)=375\ \text{Дж}.
Итог положительный: на расширении газ отдал больше работы, чем «забрал» на сжатии, поэтому суммарно газ совершил A=375 Дж.
A=375 Дж