МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016852

Дано:

$\nu=1$ моль (гелий, одноатомный); $\;u_1=500$ м/с; $\;n=2$ (во столько раз растёт скорость); $\;\dfrac{u}{V}=\text{const}$

Найти:

$Q$ — подведённое количество теплоты

Решение:

Среднеквадратичная скорость молекул — это, по сути, «градусник» газа: чем быстрее носятся атомы, тем горячее газ. Связь жёсткая: $u=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$, то есть $u^2\sim T$. Поэтому если скорость выросла в $n=2$ раза, то температура подскочила в $n^2=4$ раза.

Теперь разберём сам процесс. По условию $\dfrac{u}{V}=\text{const}$, значит объём растёт прямо вместе со скоростью: $V\sim u$, и $V_2=2V_1$. Свяжем давление: из $pV=\nu RT$ имеем $p=\dfrac{\nu RT}{V}$. Так как $T\sim u^2$ и $V\sim u$, то $p\sim\dfrac{u^2}{u}=u\sim V$. Получается линейная зависимость $p\sim V$ (прямая через ноль) — а площадь под такой прямой считается легко.

Работа газа $A=\dfrac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1)$. Так как $p\sim V$, удобно показать, что $A=\dfrac{1}{2}\nu R\,(T_2-T_1)$. Внутренняя энергия одноатомного гелия $\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\,(T_2-T_1)$.

Найдём $\nu R T_1$ через скорость: $\nu RT_1=\dfrac{M u_1^2}{3}\cdot\nu=\dfrac{m u_1^2}{3}=\dfrac{0{,}004\cdot500^2}{3}\approx333{,}3$ Дж. А $T_2-T_1=4T_1-T_1=3T_1$, поэтому $\nu R(T_2-T_1)=3\cdot333{,}3=1000$ Дж.

Считаем по первому закону термодинамики:

$Q=\Delta U+A=\dfrac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)+\dfrac{1}{2}\nu R(T_2-T_1)=2\nu R(T_2-T_1)=2\cdot1000=2000\ \text{Дж}.$

Итого $Q=2000$ Дж $=2$ кДж. (Ответ сборника $2{,}5$ кДж ошибочен: он получается, если по недосмотру взять гелий двухатомным, $i=4$. Гелий — благородный газ, его молекула одноатомна, $i=3$.)