ID: 00016852
В цилиндре под поршнем находится 1 моль гелия в объёме V1 под некоторым давлением p, причём среднеквадратичная скорость движения атомов гелия равна u1 = 500 м/с. Затем объём гелия увеличивают до V2таким образом, что при этом среднеквадратичная скорость движения атомов гелия увеличивается в n = 2 раза, а отношение u2/V в процессе остаётся постоянным (u — среднеквадратичная скорость газа, V — занимаемый им объём). Какое количество теплоты Q было подведено к гелию в этом процессе?
Источник: ФИПИ
\nu=1 моль (гелий, одноатомный); \;u_1=500 м/с; \;n=2 (во столько раз растёт скорость); \;\dfrac{u}{V}=\text{const}
Q — подведённое количество теплоты
Среднеквадратичная скорость молекул — это, по сути, «градусник» газа: чем быстрее носятся атомы, тем горячее газ. Связь жёсткая: u=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}, то есть u^2\sim T. Поэтому если скорость выросла в n=2 раза, то температура подскочила в n^2=4 раза.
Теперь разберём сам процесс. По условию \dfrac{u}{V}=\text{const}, значит объём растёт прямо вместе со скоростью: V\sim u, и V_2=2V_1. Свяжем давление: из pV=\nu RT имеем p=\dfrac{\nu RT}{V}. Так как T\sim u^2 и V\sim u, то p\sim\dfrac{u^2}{u}=u\sim V. Получается линейная зависимость p\sim V (прямая через ноль) — а площадь под такой прямой считается легко.
Работа газа A=\dfrac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1). Так как p\sim V, удобно показать, что A=\dfrac{1}{2}\nu R\,(T_2-T_1). Внутренняя энергия одноатомного гелия \Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\,(T_2-T_1).
Найдём \nu R T_1 через скорость: \nu RT_1=\dfrac{M u_1^2}{3}\cdot\nu=\dfrac{m u_1^2}{3}=\dfrac{0{,}004\cdot500^2}{3}\approx333{,}3 Дж. А T_2-T_1=4T_1-T_1=3T_1, поэтому \nu R(T_2-T_1)=3\cdot333{,}3=1000 Дж.
Считаем по первому закону термодинамики:
Q=\Delta U+A=\dfrac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)+\dfrac{1}{2}\nu R(T_2-T_1)=2\nu R(T_2-T_1)=2\cdot1000=2000\ \text{Дж}.
Итого Q=2000 Дж =2 кДж. (Ответ сборника 2{,}5 кДж ошибочен: он получается, если по недосмотру взять гелий двухатомным, i=4. Гелий — благородный газ, его молекула одноатомна, i=3.)
Q=2000 Дж =2 кДж