ID: 00016850
Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре T1 = 600 K и давлении p1 = 4⋅105 Па, расширяется и одновременно охлаждается так, что его давление при расширении обратно пропорционально квадрату объёма. Конечное давление газа p2 = 105 Па. Какую работу совершил газ при расширении, если он отдал холодильнику количество теплоты Q = 1247 Дж?
Источник: ФИПИ
\nu=1 моль (аргон, одноатомный); \;T_1=600 К; \;p_1=4\cdot10^5 Па; \;p\propto\dfrac{1}{V^2}; \;p_2=10^5 Па; газ отдал холодильнику Q_{\text{отд}}=1247 Дж
A — работу, совершённую газом при расширении
Здесь работает «закон сохранения тепла» — первое начало термодинамики. Представь кошелёк газа: подведённое тепло Q либо идёт в его внутреннюю «копилку» \Delta U, либо тратится на работу A по расширению. Газ у нас, наоборот, остывает и отдаёт тепло — значит «копилка» худеет, и часть этих денег идёт на работу.
Сначала найдём конечную температуру. По условию p\propto\dfrac1{V^2}, то есть pV^2=\text{const}, откуда p_1V_1^2=p_2V_2^2 и
\dfrac{V_2}{V_1}=\sqrt{\dfrac{p_1}{p_2}}=\sqrt{\dfrac{4\cdot10^5}{10^5}}=2.
Температуру свяжем через уравнение состояния \dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}:
T_2=T_1\cdot\dfrac{p_2V_2}{p_1V_1}=600\cdot\dfrac{10^5\cdot2}{4\cdot10^5\cdot1}=600\cdot\dfrac{2}{4}=300\ \text{К}.
Изменение внутренней энергии одноатомного газа: \Delta U=\dfrac32\nu R(T_2-T_1)=\dfrac32\cdot1\cdot8{,}31\cdot(300-600)\approx-3741\ \text{Дж} (энергия уменьшилась).
Первое начало термодинамики: Q=\Delta U+A. Газ тепло отдал, значит подведённое тепло отрицательное: Q=-Q_{\text{отд}}=-1247 Дж. Выражаем работу:
A=Q-\Delta U=-1247-(-3741)=-1247+3741\approx 2494\ \text{Дж}.
Итог: газ совершил работу около 2494 Дж \approx 2{,}5 кДж. Хотя газ остывал и отдавал тепло, он всё равно расширялся и совершал положительную работу — за счёт уменьшения собственной внутренней энергии.
A=Q-\Delta U\approx 2494 Дж \approx 2{,}5 кДж