ID: 00016849
С одним молем гелия провели процесс, при котором среднеквадратичная скорость атомов гелия выросла в n = 2 раза. В ходе этого процесса средняя кинетическая энергия атомов гелия была пропорциональна объёму, занимаемому гелием. Какую работу совершил газ в этом процессе? Считать гелий идеальным газом, а значение среднеквадратичной скорости атомов гелия в начале процесса принять равным v1 = 1000 м/с.
Источник: ФИПИ
\nu=1 моль (гелий); среднеквадратичная скорость выросла в n=2 раза; средняя кинетическая энергия атомов \propto V (пропорциональна объёму); v_1=1000 м/с; \;M=0{,}004 кг/моль
A — работу, совершённую газом
Сначала поймём, что за процесс. Средняя кинетическая энергия атома — это, по сути, мера температуры: \bar{E}=\dfrac32 kT, то есть \bar{E}\propto T. Нам сказали, что \bar{E}\propto V, значит и T\propto V. А если температура растёт прямо пропорционально объёму, то их отношение \dfrac{T}{V} постоянно — а вместе с ним постоянно и давление: p=\dfrac{\nu RT}{V}=\text{const}. Это изобарный процесс — как воздух в открытой колбе, который греют и он спокойно расширяется при неизменном давлении.
Скорость связана с температурой как v\propto\sqrt{T}. Раз скорость выросла в 2 раза, температура выросла в 2^2=4 раза: T_2=4T_1.
Работа газа при постоянном давлении: A=p\,\Delta V=\nu R\,\Delta T=\nu R(T_2-T_1)=3\nu R T_1.
Начальную температуру выразим через скорость: \dfrac32 R T_1=\dfrac12 M v_1^2\;\Rightarrow\;T_1=\dfrac{M v_1^2}{3R}. Подставим:
A=3\nu R\cdot\dfrac{M v_1^2}{3R}=\nu M v_1^2.
Красиво всё сократилось — постоянная R ушла. Считаем:
A=1\cdot0{,}004\cdot1000^2=0{,}004\cdot10^{6}=4000\ \text{Дж}=4\ \text{кДж}.
Итог: газ совершил работу 4 кДж. Главная идея — догадаться, что условие «энергия \propto объёму» означает изобарный процесс.
A=\nu M v_1^2=4000 Дж =4 кДж