ID: 00016849
С одним молем гелия провели процесс, при котором среднеквадратичная скорость атомов гелия выросла в n = 2 раза. В ходе этого процесса средняя кинетическая энергия атомов гелия была пропорциональна объёму, занимаемому гелием. Какую работу совершил газ в этом процессе? Считать гелий идеальным газом, а значение среднеквадратичной скорости атомов гелия в начале процесса принять равным v1 = 1000 м/с.
Источник: ФИПИ
$\nu=1$ моль (гелий); среднеквадратичная скорость выросла в $n=2$ раза; средняя кинетическая энергия атомов $\propto V$ (пропорциональна объёму); $v_1=1000$ м/с; $\;M=0{,}004$ кг/моль
$A$ — работу, совершённую газом
Сначала поймём, что за процесс. Средняя кинетическая энергия атома — это, по сути, мера температуры: $\bar{E}=\dfrac32 kT$, то есть $\bar{E}\propto T$. Нам сказали, что $\bar{E}\propto V$, значит и $T\propto V$. А если температура растёт прямо пропорционально объёму, то их отношение $\dfrac{T}{V}$ постоянно — а вместе с ним постоянно и давление: $p=\dfrac{\nu RT}{V}=\text{const}$. Это изобарный процесс — как воздух в открытой колбе, который греют и он спокойно расширяется при неизменном давлении.
Скорость связана с температурой как $v\propto\sqrt{T}$. Раз скорость выросла в $2$ раза, температура выросла в $2^2=4$ раза: $T_2=4T_1$.
Работа газа при постоянном давлении: $A=p\,\Delta V=\nu R\,\Delta T=\nu R(T_2-T_1)=3\nu R T_1$.
Начальную температуру выразим через скорость: $\dfrac32 R T_1=\dfrac12 M v_1^2\;\Rightarrow\;T_1=\dfrac{M v_1^2}{3R}$. Подставим:
$A=3\nu R\cdot\dfrac{M v_1^2}{3R}=\nu M v_1^2.$
Красиво всё сократилось — постоянная $R$ ушла. Считаем:
$A=1\cdot0{,}004\cdot1000^2=0{,}004\cdot10^{6}=4000\ \text{Дж}=4\ \text{кДж}.$
Итог: газ совершил работу $4$ кДж. Главная идея — догадаться, что условие «энергия $\propto$ объёму» означает изобарный процесс.
$A=\nu M v_1^2=4000$ Дж $=4$ кДж