ID: 00016848
В сосуде с небольшой трещиной находится воздух. Воздух может медленно просачиваться сквозь трещину. Во время опыта объем сосуда уменьшили в 4 раза, давление воздуха в сосуде увеличилось тоже в 4 раза, а его абсолютная температура увеличилась в 1,5 раза. Каково изменение внутренней энергии воздуха в сосуде? (Воздух считать идеальным газом.)
Источник: ФИПИ
$V_2=\dfrac{V_1}{4}$ (объём уменьшили в $4$ раза); $\;p_2=4p_1$ (давление выросло в $4$ раза); $\;T_2=1{,}5\,T_1$; воздух — идеальный газ
$\Delta U$ — изменение внутренней энергии воздуха в сосуде
Внутренняя энергия — это «копилка движения» всех молекул газа. Для идеального газа её удобно мерить произведением давления на объём: если $pV$ не изменилось, то и копилка осталась прежней, как бы ни менялись по отдельности давление, объём и количество молекул.
Для идеального газа $U=\dfrac{i}{2}\nu RT$, а из уравнения состояния $\nu RT=pV$, поэтому
$U=\dfrac{i}{2}\,pV.$
Число степеней свободы $i$ у воздуха не меняется. Найдём, во сколько раз изменилось $pV$:
$\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{p_2V_2}{p_1V_1}=\dfrac{4p_1\cdot\dfrac{V_1}{4}}{p_1V_1}=\dfrac{4}{4}=1.$
Произведение $pV$ осталось тем же, значит $U_2=U_1$. Часть воздуха вытекла через трещину (количество вещества уменьшилось), но рост давления ровно компенсировал уменьшение объёма. Температура $T_2=1{,}5T_1$ на саму энергию здесь не влияет — она уже учтена в $pV$.
Внутренняя энергия не изменилась: $\Delta U=0$ ($\dfrac{U_2}{U_1}=1$)