Дано:

V=25 л =0{,}025\ \text{м}^3; \;\nu_1=0{,}5 моль (гелий), v_1=1400 м/с; \;\nu_2=0{,}5 моль (неон), v_2=620 м/с; \;M_1=0{,}004 кг/моль; \;M_2=0{,}020 кг/моль

Найти:

p — давление после установления равновесия

Решение:

Это как смешать горячий и тёплый чай в термосе: наружу тепло не уходит (сосуд теплоизолирован), стенки жёсткие — работы нет. Значит общий запас тепловой энергии (внутренняя энергия) до и после одинаков, просто атомы выравнивают температуру между собой.

Внутренняя энергия одноатомного газа U=\dfrac{3}{2}\nu RT. Для одного моля \dfrac{3}{2}RT=\dfrac{1}{2}Mv^2, поэтому энергия каждого газа до смешения U_i=\dfrac{1}{2}\nu_i M_i v_i^2.

Сохранение внутренней энергии:

U=U_1+U_2=\dfrac{1}{2}\nu_1 M_1 v_1^2+\dfrac{1}{2}\nu_2 M_2 v_2^2.

Для всей смеси при общей температуре U=\dfrac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT, значит (\nu_1+\nu_2)RT=\dfrac{2}{3}U. Давление (закон Дальтона + уравнение состояния):

p=\dfrac{(\nu_1+\nu_2)RT}{V}=\dfrac{2U}{3V}=\dfrac{\nu_1 M_1 v_1^2+\nu_2 M_2 v_2^2}{3V}.

Считаем: U_1=\dfrac12\cdot0{,}5\cdot0{,}004\cdot1400^2=1960 Дж, \;U_2=\dfrac12\cdot0{,}5\cdot0{,}020\cdot620^2=1922 Дж, итого U=3882 Дж.

p=\dfrac{2\cdot3882}{3\cdot0{,}025}=\dfrac{7764}{0{,}075}\approx 1{,}035\cdot10^{5}\ \text{Па}\approx 103{,}5\ \text{кПа}.

Около 1{,}04\cdot10^5 Па — почти атмосферное. Лёгкий, но очень быстрый гелий и тяжёлый медленный неон внесли примерно поровну энергии, и давление вышло чуть выше нормального атмосферного.