МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016845

Дано:

$V=25$ л $=0{,}025\ \text{м}^3$; $\;\nu_1=0{,}5$ моль (гелий), $v_1=1400$ м/с; $\;\nu_2=0{,}5$ моль (неон), $v_2=620$ м/с; $\;M_1=0{,}004$ кг/моль; $\;M_2=0{,}020$ кг/моль

Найти:

$p$ — давление после установления равновесия

Решение:

Это как смешать горячий и тёплый чай в термосе: наружу тепло не уходит (сосуд теплоизолирован), стенки жёсткие — работы нет. Значит общий запас тепловой энергии (внутренняя энергия) до и после одинаков, просто атомы выравнивают температуру между собой.

Внутренняя энергия одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$. Для одного моля $\dfrac{3}{2}RT=\dfrac{1}{2}Mv^2$, поэтому энергия каждого газа до смешения $U_i=\dfrac{1}{2}\nu_i M_i v_i^2$.

Сохранение внутренней энергии:

$U=U_1+U_2=\dfrac{1}{2}\nu_1 M_1 v_1^2+\dfrac{1}{2}\nu_2 M_2 v_2^2.$

Для всей смеси при общей температуре $U=\dfrac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT$, значит $(\nu_1+\nu_2)RT=\dfrac{2}{3}U$. Давление (закон Дальтона + уравнение состояния):

$p=\dfrac{(\nu_1+\nu_2)RT}{V}=\dfrac{2U}{3V}=\dfrac{\nu_1 M_1 v_1^2+\nu_2 M_2 v_2^2}{3V}.$

Считаем: $U_1=\dfrac12\cdot0{,}5\cdot0{,}004\cdot1400^2=1960$ Дж, $\;U_2=\dfrac12\cdot0{,}5\cdot0{,}020\cdot620^2=1922$ Дж, итого $U=3882$ Дж.

$p=\dfrac{2\cdot3882}{3\cdot0{,}025}=\dfrac{7764}{0{,}075}\approx 1{,}035\cdot10^{5}\ \text{Па}\approx 103{,}5\ \text{кПа}.$

Около $1{,}04\cdot10^5$ Па — почти атмосферное. Лёгкий, но очень быстрый гелий и тяжёлый медленный неон внесли примерно поровну энергии, и давление вышло чуть выше нормального атмосферного.