МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016843

Дано:

$V=10$ л $=0{,}01\ \text{м}^3$; $\;\nu=5$ моль гелия; $\;t=17\,^\circ\text{C}=290$ К; $\;Q=3$ кДж $=3000$ Дж; атмосферное давление $p_0=10^5$ Па; сосуд жёсткий ($V=\text{const}$).

Найти:

$\Delta p_{\max}=p_2-p_0$ — максимальную разность давлений, которую выдерживает сосуд.

Решение:

Сосуд — как накачанный мяч: чем сильнее давит газ изнутри по сравнению с улицей, тем ближе он к разрыву. Объём не меняется (стенки жёсткие), поэтому всё подведённое тепло идёт только на разогрев газа, а тот «поддувает» давление. Найдём, до какого давления догреется газ, и вычтем уличное.

Процесс изохорный, газ не совершает работы ($\Delta V=0$). По первому закону термодинамики всё тепло идёт на рост внутренней энергии (гелий одноатомный, $C_V=\dfrac{3}{2}R$):

$$Q=\Delta U=\frac{3}{2}\,\nu R\,\Delta T \;\Rightarrow\; \Delta T=\frac{2Q}{3\nu R}=\frac{2\cdot 3000}{3\cdot 5\cdot 8{,}31}\approx 48{,}1\ \text{К}.$$

Значит, газ нагреется до $T_2=T_1+\Delta T=290+48{,}1=338{,}1$ К. Давление внутри найдём из уравнения Менделеева — Клапейрона $pV=\nu R T$ (объём постоянный). В момент разрыва:

$$p_2=\frac{\nu R T_2}{V}=\frac{5\cdot 8{,}31\cdot 338{,}1}{0{,}01}\approx 1{,}40\cdot 10^{6}\ \text{Па}.$$

Сосуд лопается, когда разность давлений изнутри и снаружи достигает предельной. Эта максимальная разность:

$$\Delta p_{\max}=p_2-p_0=1{,}40\cdot10^{6}-1{,}0\cdot10^{5}\approx 1{,}3\cdot10^{6}\ \text{Па}=1300\ \text{кПа}.$$

Итак, сосуд выдерживает разность давлений около $1{,}3\cdot10^{6}$ Па (примерно $13$ атмосфер). Тепло пошло целиком в нагрев — отсюда и резкий скачок давления.