Дано:

V=10 л =0{,}01\ \text{м}^3; \;\nu=5 моль гелия; \;t=17\,^\circ\text{C}=290 К; \;Q=3 кДж =3000 Дж; атмосферное давление p_0=10^5 Па; сосуд жёсткий (V=\text{const}).

Найти:

\Delta p_{\max}=p_2-p_0 — максимальную разность давлений, которую выдерживает сосуд.

Решение:

Сосуд — как накачанный мяч: чем сильнее давит газ изнутри по сравнению с улицей, тем ближе он к разрыву. Объём не меняется (стенки жёсткие), поэтому всё подведённое тепло идёт только на разогрев газа, а тот «поддувает» давление. Найдём, до какого давления догреется газ, и вычтем уличное.

Процесс изохорный, газ не совершает работы (\Delta V=0). По первому закону термодинамики всё тепло идёт на рост внутренней энергии (гелий одноатомный, C_V=\dfrac{3}{2}R):

Q=\Delta U=\frac{3}{2}\,\nu R\,\Delta T \;\Rightarrow\; \Delta T=\frac{2Q}{3\nu R}=\frac{2\cdot 3000}{3\cdot 5\cdot 8{,}31}\approx 48{,}1\ \text{К}.

Значит, газ нагреется до T_2=T_1+\Delta T=290+48{,}1=338{,}1 К. Давление внутри найдём из уравнения Менделеева — Клапейрона pV=\nu R T (объём постоянный). В момент разрыва:

p_2=\frac{\nu R T_2}{V}=\frac{5\cdot 8{,}31\cdot 338{,}1}{0{,}01}\approx 1{,}40\cdot 10^{6}\ \text{Па}.

Сосуд лопается, когда разность давлений изнутри и снаружи достигает предельной. Эта максимальная разность:

\Delta p_{\max}=p_2-p_0=1{,}40\cdot10^{6}-1{,}0\cdot10^{5}\approx 1{,}3\cdot10^{6}\ \text{Па}=1300\ \text{кПа}.

Итак, сосуд выдерживает разность давлений около 1{,}3\cdot10^{6} Па (примерно 13 атмосфер). Тепло пошло целиком в нагрев — отсюда и резкий скачок давления.