ID: 00016840
Гелий в количестве ν = 3 моль изобарно сжимают, совершая работу A1 = 2,4 кДж. При этом температура гелия уменьшается в 4 раза: T2 = T1/4. Затем газ адиабатически расширяется, при этом его температура изменяется до значения T3 = T1/8. Найдите работу газа А2 при адиабатном расширении. Количество вещества в процессах остаётся неизменным.
Источник: ФИПИ
Гелий (одноатомный), $\;\nu=3$ моль; изобарное сжатие, работа над газом $A_1=2{,}4$ кДж $=2400$ Дж; $\;T_2=\dfrac{T_1}{4}$; адиабатное расширение до $T_3=\dfrac{T_1}{8}$; $\;\nu=\text{const}$.
$A_2$ — работу газа при адиабатном расширении.
Думайте о внутренней энергии газа как о деньгах на счёте. В изобарном сжатии газу «доплачивают» извне (над ним совершают работу), и по температурам легко узнать, насколько «подорожал» один градус. В адиабатном расширении касса закрыта — газ работает только на свои сбережения, расходуя внутреннюю энергию. Один и тот же газ, поэтому «цена градуса» в обоих процессах одна и та же, и мы перекинем её из первого процесса во второй.
Изобарное сжатие. Работа газа $A_{\text{газ}}=\nu R(T_2-T_1)$ отрицательна (газ сжимают), а работа НАД газом — это её модуль:
$$A_1=\nu R\,(T_1-T_2)=\nu R\!\left(T_1-\frac{T_1}{4}\right)=\frac{3}{4}\,\nu R\,T_1.$$
Отсюда находим «цену» — произведение $\nu R T_1$:
$$\nu R T_1=\frac{4}{3}A_1=\frac{4}{3}\cdot 2400=3200\ \text{Дж}.$$
Адиабатное расширение. Тепло не подводится ($Q=0$), поэтому работа газа равна убыли внутренней энергии: $A_2=-\Delta U=-\dfrac{3}{2}\nu R(T_3-T_2)$ (для гелия $C_V=\dfrac{3}{2}R$). Подставляем $T_2=\dfrac{T_1}{4}$ и $T_3=\dfrac{T_1}{8}$:
$$A_2=\frac{3}{2}\nu R\,(T_2-T_3)=\frac{3}{2}\nu R\!\left(\frac{T_1}{4}-\frac{T_1}{8}\right)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{8}\,\nu R T_1=\frac{3}{16}\,\nu R T_1.$$
Подставляем найденное $\nu R T_1=3200$ Дж:
$$A_2=\frac{3}{16}\cdot 3200=600\ \text{Дж}.$$
Итак, при адиабатном расширении газ совершает работу $A_2=600$ Дж — расходует часть своего внутреннего запаса.
$A_2=\dfrac{3}{16}\,\nu R T_1=600$ Дж