Дано:

Гелий (одноатомный), \;\nu=3 моль; изобарное сжатие, работа над газом A_1=2{,}4 кДж =2400 Дж; \;T_2=\dfrac{T_1}{4}; адиабатное расширение до T_3=\dfrac{T_1}{8}; \;\nu=\text{const}.

Найти:

A_2 — работу газа при адиабатном расширении.

Решение:

Думайте о внутренней энергии газа как о деньгах на счёте. В изобарном сжатии газу «доплачивают» извне (над ним совершают работу), и по температурам легко узнать, насколько «подорожал» один градус. В адиабатном расширении касса закрыта — газ работает только на свои сбережения, расходуя внутреннюю энергию. Один и тот же газ, поэтому «цена градуса» в обоих процессах одна и та же, и мы перекинем её из первого процесса во второй.

Изобарное сжатие. Работа газа A_{\text{газ}}=\nu R(T_2-T_1) отрицательна (газ сжимают), а работа НАД газом — это её модуль:

A_1=\nu R\,(T_1-T_2)=\nu R\!\left(T_1-\frac{T_1}{4}\right)=\frac{3}{4}\,\nu R\,T_1.

Отсюда находим «цену» — произведение \nu R T_1:

\nu R T_1=\frac{4}{3}A_1=\frac{4}{3}\cdot 2400=3200\ \text{Дж}.

Адиабатное расширение. Тепло не подводится (Q=0), поэтому работа газа равна убыли внутренней энергии: A_2=-\Delta U=-\dfrac{3}{2}\nu R(T_3-T_2) (для гелия C_V=\dfrac{3}{2}R). Подставляем T_2=\dfrac{T_1}{4} и T_3=\dfrac{T_1}{8}:

A_2=\frac{3}{2}\nu R\,(T_2-T_3)=\frac{3}{2}\nu R\!\left(\frac{T_1}{4}-\frac{T_1}{8}\right)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{8}\,\nu R T_1=\frac{3}{16}\,\nu R T_1.

Подставляем найденное \nu R T_1=3200 Дж:

A_2=\frac{3}{16}\cdot 3200=600\ \text{Дж}.

Итак, при адиабатном расширении газ совершает работу A_2=600 Дж — расходует часть своего внутреннего запаса.