Дано:

Одноатомный идеальный газ, \;\nu=\text{const}; изобарное сжатие T_2=\dfrac{T_1}{k}; затем адиабатное расширение T_3=\dfrac{T_2}{k}; отношение модулей работ n=\dfrac{|A_{\text{изоб}}|}{|A_{\text{адиаб}}|}=4.

Найти:

k.

Решение:

Сравним два «работника»-процесса как два грузчика. В изобарном процессе газ толкает поршень при постоянном давлении — работу легко посчитать «в лоб». В адиабатном процессе газ ничего не получает извне (стенки не пропускают тепло), поэтому всю работу он «оплачивает» из своего внутреннего запаса энергии. Нам надо понять, чья работа больше и во сколько раз.

Изобарный процесс. Работа газа A_{\text{изоб}}=p\,\Delta V=\nu R(T_2-T_1). Так как T_2=\dfrac{T_1}{k}\lt T_1 (сжатие), эта работа отрицательна; берём её модуль:

|A_{\text{изоб}}|=\nu R\,(T_1-T_2)=\nu R\,T_1\!\left(1-\frac{1}{k}\right).

Адиабатный процесс. Тепло не подводится (Q=0), поэтому по первому закону термодинамики работа газа равна убыли внутренней энергии: A_{\text{адиаб}}=-\Delta U=-\nu C_V(T_3-T_2), где для одноатомного газа C_V=\dfrac{3}{2}R. Подставим T_3=\dfrac{T_2}{k}=\dfrac{T_1}{k^2}:

|A_{\text{адиаб}}|=\frac{3}{2}\nu R\,(T_2-T_3)=\frac{3}{2}\nu R\!\left(\frac{T_1}{k}-\frac{T_1}{k^2}\right)=\frac{3}{2}\nu R\,\frac{T_1}{k}\!\left(1-\frac{1}{k}\right).

Теперь берём отношение — множитель \nu R T_1\!\left(1-\dfrac{1}{k}\right) сокращается целиком:

n=\frac{|A_{\text{изоб}}|}{|A_{\text{адиаб}}|}=\frac{\nu R T_1\!\left(1-\frac1k\right)}{\frac32\nu R\,\frac{T_1}{k}\!\left(1-\frac1k\right)}=\frac{1}{\frac32\cdot\frac1k}=\frac{2k}{3}.

Отсюда k=\dfrac{3n}{2}=\dfrac{3\cdot 4}{2}=6.

Итак, k=6. Удобно, что ни \nu, ни T_1 знать не пришлось — они сократились.