МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016839

Дано:

Одноатомный идеальный газ, $\;\nu=\text{const}$; изобарное сжатие $T_2=\dfrac{T_1}{k}$; затем адиабатное расширение $T_3=\dfrac{T_2}{k}$; отношение модулей работ $n=\dfrac{|A_{\text{изоб}}|}{|A_{\text{адиаб}}|}=4$.

Найти:

$k$.

Решение:

Сравним два «работника»-процесса как два грузчика. В изобарном процессе газ толкает поршень при постоянном давлении — работу легко посчитать «в лоб». В адиабатном процессе газ ничего не получает извне (стенки не пропускают тепло), поэтому всю работу он «оплачивает» из своего внутреннего запаса энергии. Нам надо понять, чья работа больше и во сколько раз.

Изобарный процесс. Работа газа $A_{\text{изоб}}=p\,\Delta V=\nu R(T_2-T_1)$. Так как $T_2=\dfrac{T_1}{k}\lt T_1$ (сжатие), эта работа отрицательна; берём её модуль:

$$|A_{\text{изоб}}|=\nu R\,(T_1-T_2)=\nu R\,T_1\!\left(1-\frac{1}{k}\right).$$

Адиабатный процесс. Тепло не подводится ($Q=0$), поэтому по первому закону термодинамики работа газа равна убыли внутренней энергии: $A_{\text{адиаб}}=-\Delta U=-\nu C_V(T_3-T_2)$, где для одноатомного газа $C_V=\dfrac{3}{2}R$. Подставим $T_3=\dfrac{T_2}{k}=\dfrac{T_1}{k^2}$:

$$|A_{\text{адиаб}}|=\frac{3}{2}\nu R\,(T_2-T_3)=\frac{3}{2}\nu R\!\left(\frac{T_1}{k}-\frac{T_1}{k^2}\right)=\frac{3}{2}\nu R\,\frac{T_1}{k}\!\left(1-\frac{1}{k}\right).$$

Теперь берём отношение — множитель $\nu R T_1\!\left(1-\dfrac{1}{k}\right)$ сокращается целиком:

$$n=\frac{|A_{\text{изоб}}|}{|A_{\text{адиаб}}|}=\frac{\nu R T_1\!\left(1-\frac1k\right)}{\frac32\nu R\,\frac{T_1}{k}\!\left(1-\frac1k\right)}=\frac{1}{\frac32\cdot\frac1k}=\frac{2k}{3}.$$

Отсюда $k=\dfrac{3n}{2}=\dfrac{3\cdot 4}{2}=6.$

Итак, $k=6$. Удобно, что ни $\nu$, ни $T_1$ знать не пришлось — они сократились.