ID: 00016838
Многие сельские дома отапливаются в настоящее время при помощи электрообогревателей, что обходится достаточно дорого. При этом совершаемая электрическим током работа А превращается в равное ей количество теплоты Q, и батареи отопления нагреваются до температуры Т1 = 60 °C. Однако расходы можно значительно снизить, если использовать эту работу A для перекачки теплоты Qхол от внешнего теплового резервуара, имеющего температуру Т2 = 0 °C (например, от незамерзающего зимой пруда), к батареям, выделяя в них количество теплоты Qнагр. Во сколько раз n при этом количество теплоты Qнагр превышает Q = А, если перекачивающее теплоту устройство работает по идеальному циклу Карно, запущенному в обратном направлении, а температура батарей остаётся равной Т1? Считайте, что в идеальной тепловой машине все процессы обратимые, так что при запуске её в обратном направлении знаки всех энергетических вкладов (работы и количеств теплоты) просто поменяются, а соотношения между ними останутся прежними.
Источник: ФИПИ
T_1=60\,^\circ\text{C}=333 К — температура батарей; \;T_2=0\,^\circ\text{C}=273 К — температура пруда; \;Q=A (работа равна выделяемой при простом нагреве теплоте); машина работает по обратному циклу Карно.
n=\dfrac{Q_{\text{нагр}}}{Q}=\dfrac{Q_{\text{нагр}}}{A} — во сколько раз перекачанной теплоты больше, чем затраченной работы.
Представьте насос для воды: чтобы поднять много воды наверх, насос сам тратит лишь немного электричества — он не «делает» воду, а лишь перекачивает уже имеющуюся. Тепловой насос работает так же: затратив работу A, он забирает «дармовое» тепло у пруда и сбрасывает его в батареи. Поэтому в батареи приходит БОЛЬШЕ тепла, чем потрачено электричества, — в этом вся выгода.
Холодильная (тепловая) машина по циклу Карно, запущенная в обратную сторону, забирает у холодного резервуара теплоту Q_{\text{хол}}, получает извне работу A и отдаёт горячему резервуару (батареям) теплоту Q_{\text{нагр}}. По закону сохранения энергии (первое начало термодинамики за цикл):
Q_{\text{нагр}} = Q_{\text{хол}} + A.
Так как все процессы в идеальной машине Карно обратимы, отношение отданной и полученной теплоты определяется только температурами резервуаров:
\frac{Q_{\text{нагр}}}{Q_{\text{хол}}} = \frac{T_1}{T_2}.
Выразим отсюда Q_{\text{хол}}=Q_{\text{нагр}}\dfrac{T_2}{T_1} и подставим в баланс энергии:
Q_{\text{нагр}} = Q_{\text{нагр}}\frac{T_2}{T_1} + A \;\Rightarrow\; A = Q_{\text{нагр}}\left(1-\frac{T_2}{T_1}\right)=Q_{\text{нагр}}\frac{T_1-T_2}{T_1}.
Тогда искомое отношение (это и есть отопительный коэффициент насоса):
n=\frac{Q_{\text{нагр}}}{A}=\frac{T_1}{T_1-T_2}=\frac{333}{333-273}=\frac{333}{60}\approx 5{,}55.
Итак, перекачивающее устройство даёт в батареи примерно в 5{,}55 раза больше теплоты, чем затраченная электрическая работа. Вот почему тепловой насос экономичнее прямого электрообогрева.
n=\dfrac{T_1}{T_1-T_2}\approx 5{,}55