ID: 00016837
Цикл тепловой машины, рабочим веществом которой является ν молей идеального одноатомного газа, состоит из изотермического расширения, изохорного охлаждения и адиабатического сжатия. Работа, совершённая газом в изотермическом процессе, равна А, а КПД тепловой машины равен η. Максимальная температура в этом цикле равна Т0. Определите минимальную температуру Т в этом циклическом процессе.
Источник: ФИПИ
\nu — число молей одноатомного газа; цикл: изотермическое расширение \to изохорное охлаждение \to адиабатическое сжатие; A — работа газа в изотермическом процессе; \eta — КПД цикла; T_0 — максимальная температура цикла.
T — минимальную температуру цикла.
Разберёмся, где в цикле «жарко», а где «холодно». Изотермическое расширение идёт при самой высокой температуре — это и есть T_0 (на изотерме температура постоянна и равна T_0). Потом газ изохорно охлаждается, теряя |\Delta T|, и попадает в самую холодную точку цикла — это и есть искомая T. Значит:
T=T_0-|\Delta T|.
Найдём |\Delta T| из «бухгалтерии оборота». Тепло подводится только на изотерме, где \Delta U=0 и всё тепло идёт в работу: Q_\text{подв}=A. Тепло отводится на изохорном охлаждении: |Q_\text{отв}|=\tfrac{3}{2}\nu R\,|\Delta T|. На адиабате Q=0. КПД:
\eta=1-\dfrac{|Q_\text{отв}|}{Q_\text{подв}}=1-\dfrac{\tfrac{3}{2}\nu R\,|\Delta T|}{A}\;\Rightarrow\;|\Delta T|=\dfrac{2\,A\,(1-\eta)}{3\,\nu R}.
Подставляем в выражение для минимальной температуры:
T=T_0-\dfrac{2\,A\,(1-\eta)}{3\,\nu R}.
Логика проста: от самой горячей точки T_0 отнимаем «глубину» остывания на изохоре — и получаем самую холодную точку цикла.
T=T_0-\dfrac{2\,A\,(1-\eta)}{3\,\nu R}