ID: 00016835
Цикл тепловой машины, рабочим веществом которой является ν молей идеального одноатомного газа, состоит из изотермического расширения, изохорного охлаждения и адиабатического сжатия. В изохорном процессе температура газа понижается на ΔТ, а КПД тепловой машины равен η. Определите работу, совершённую газом в изотермическом процессе.
Источник: ФИПИ
\nu — число молей одноатомного газа; цикл: изотермическое расширение \to изохорное охлаждение \to адиабатическое сжатие; \Delta T — понижение температуры в изохорном процессе; \eta — КПД цикла.
A_\text{из} — работу газа в изотермическом процессе.
КПД — это как «полезный навар с оборота»: из всех денег, что вошли в кассу, какая доля осталась в кармане. В кассу (к газу) тепло приходит только на изотермическом расширении: там температура не меняется, внутренняя энергия постоянна, и всё подведённое тепло целиком уходит в работу газа. Значит подведённая теплота равна изотермической работе:
Q_\text{подв}=A_\text{из}.
«Расходы» — отданное тепло — приходятся на изохорное охлаждение: объём постоянен, работы нет, газ просто остывает на \Delta T и отдаёт
|Q_\text{отв}|=\tfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T (одноатомный газ).
На адиабате теплообмена нет (Q=0). КПД — это полезная работа за цикл, делённая на подведённое тепло:
\eta=\dfrac{A_\text{цикл}}{Q_\text{подв}}=\dfrac{Q_\text{подв}-|Q_\text{отв}|}{Q_\text{подв}}=1-\dfrac{\tfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T}{A_\text{из}}.
Отсюда выражаем изотермическую работу:
1-\eta=\dfrac{\tfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T}{A_\text{из}}\;\Rightarrow\;A_\text{из}=\dfrac{3\,\nu R\,\Delta T}{2\,(1-\eta)}.
Чем выше КПД (меньше 1-\eta), тем больше работа на изотерме при том же остывании — логично: меньшая доля тепла «сбрасывается» в холодильник.
A_\text{из}=\dfrac{3\,\nu R\,\Delta T}{2\,(1-\eta)}