ID: 00016834
Два одинаковых теплоизолированных сосуда соединены короткой трубкой с краном. Объём каждого сосуда V = 1 м3. В первом сосуде находится ν1 = 1 моль гелия при температуре T1 = 400 К; во втором — ν2 = 3 моль аргона при температуре Т2. Кран открывают. После установления равновесного состояния давление в сосудах р = 5,4 кПа. Определите первоначальную температуру аргона T2.
Источник: ФИПИ
V=1\ \text{м}^3 — объём каждого сосуда; \nu_1=1 моль гелия, T_1=400 К; \nu_2=3 моль аргона, T_2-?; после открытия крана p=5{,}4 кПа =5400 Па; R=8{,}31\ \tfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}; газы одноатомные; сосуды теплоизолированы.
T_2 — начальную температуру аргона.
Два термоса соединили трубкой — газы перемешались и заняли общий объём, как чай и кипяток в одном чайнике приходят к одной температуре. Наружу тепло не уходит (теплоизоляция), значит суммарная внутренняя энергия сохраняется. Оба газа одноатомные, U=\tfrac{3}{2}\nu RT:
\tfrac{3}{2}\nu_1RT_1+\tfrac{3}{2}\nu_2RT_2=\tfrac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT\;\Rightarrow\;\nu_1T_1+\nu_2T_2=(\nu_1+\nu_2)T,
где T — общая конечная температура.
После смешения весь газ (\nu_1+\nu_2 моль) занимает удвоенный объём 2V, давление общее (сумма парциальных — закон Дальтона). Из уравнения состояния:
p\cdot2V=(\nu_1+\nu_2)RT\;\Rightarrow\;T=\dfrac{2pV}{(\nu_1+\nu_2)R}=\dfrac{2\cdot5400\cdot1}{4\cdot8{,}31}\approx 325\ \text{К}.
Теперь из баланса энергии находим T_2:
T_2=\dfrac{(\nu_1+\nu_2)T-\nu_1T_1}{\nu_2}=\dfrac{4\cdot325-1\cdot400}{3}=\dfrac{1300-400}{3}=\dfrac{900}{3}=300\ \text{К}.
Получаем T_2\approx300 К: аргон был холоднее гелия, и при смешении общая температура установилась около 325 К.
T_2\approx 300 К