ID: 00016834
Два одинаковых теплоизолированных сосуда соединены короткой трубкой с краном. Объём каждого сосуда V = 1 м3. В первом сосуде находится ν1 = 1 моль гелия при температуре T1 = 400 К; во втором — ν2 = 3 моль аргона при температуре Т2. Кран открывают. После установления равновесного состояния давление в сосудах р = 5,4 кПа. Определите первоначальную температуру аргона T2.
Источник: ФИПИ
$V=1\ \text{м}^3$ — объём каждого сосуда; $\nu_1=1$ моль гелия, $T_1=400$ К; $\nu_2=3$ моль аргона, $T_2-?$; после открытия крана $p=5{,}4$ кПа $=5400$ Па; $R=8{,}31\ \tfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$; газы одноатомные; сосуды теплоизолированы.
$T_2$ — начальную температуру аргона.
Два термоса соединили трубкой — газы перемешались и заняли общий объём, как чай и кипяток в одном чайнике приходят к одной температуре. Наружу тепло не уходит (теплоизоляция), значит суммарная внутренняя энергия сохраняется. Оба газа одноатомные, $U=\tfrac{3}{2}\nu RT$:
$\tfrac{3}{2}\nu_1RT_1+\tfrac{3}{2}\nu_2RT_2=\tfrac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT\;\Rightarrow\;\nu_1T_1+\nu_2T_2=(\nu_1+\nu_2)T,$
где $T$ — общая конечная температура.
После смешения весь газ ($\nu_1+\nu_2$ моль) занимает удвоенный объём $2V$, давление общее (сумма парциальных — закон Дальтона). Из уравнения состояния:
$p\cdot2V=(\nu_1+\nu_2)RT\;\Rightarrow\;T=\dfrac{2pV}{(\nu_1+\nu_2)R}=\dfrac{2\cdot5400\cdot1}{4\cdot8{,}31}\approx 325\ \text{К}.$
Теперь из баланса энергии находим $T_2$:
$T_2=\dfrac{(\nu_1+\nu_2)T-\nu_1T_1}{\nu_2}=\dfrac{4\cdot325-1\cdot400}{3}=\dfrac{1300-400}{3}=\dfrac{900}{3}=300\ \text{К}.$
Получаем $T_2\approx300$ К: аргон был холоднее гелия, и при смешении общая температура установилась около $325$ К.
$T_2\approx 300$ К