МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016834

Дано:

$V=1\ \text{м}^3$ — объём каждого сосуда; $\nu_1=1$ моль гелия, $T_1=400$ К; $\nu_2=3$ моль аргона, $T_2-?$; после открытия крана $p=5{,}4$ кПа $=5400$ Па; $R=8{,}31\ \tfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$; газы одноатомные; сосуды теплоизолированы.

Найти:

$T_2$ — начальную температуру аргона.

Решение:

Два термоса соединили трубкой — газы перемешались и заняли общий объём, как чай и кипяток в одном чайнике приходят к одной температуре. Наружу тепло не уходит (теплоизоляция), значит суммарная внутренняя энергия сохраняется. Оба газа одноатомные, $U=\tfrac{3}{2}\nu RT$:

$\tfrac{3}{2}\nu_1RT_1+\tfrac{3}{2}\nu_2RT_2=\tfrac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT\;\Rightarrow\;\nu_1T_1+\nu_2T_2=(\nu_1+\nu_2)T,$

где $T$ — общая конечная температура.

После смешения весь газ ($\nu_1+\nu_2$ моль) занимает удвоенный объём $2V$, давление общее (сумма парциальных — закон Дальтона). Из уравнения состояния:

$p\cdot2V=(\nu_1+\nu_2)RT\;\Rightarrow\;T=\dfrac{2pV}{(\nu_1+\nu_2)R}=\dfrac{2\cdot5400\cdot1}{4\cdot8{,}31}\approx 325\ \text{К}.$

Теперь из баланса энергии находим $T_2$:

$T_2=\dfrac{(\nu_1+\nu_2)T-\nu_1T_1}{\nu_2}=\dfrac{4\cdot325-1\cdot400}{3}=\dfrac{1300-400}{3}=\dfrac{900}{3}=300\ \text{К}.$

Получаем $T_2\approx300$ К: аргон был холоднее гелия, и при смешении общая температура установилась около $325$ К.