ID: 00016833
В теплоизолированном цилиндре, разделённом на две части тонким невесомым теплопроводящим поршнем, находится идеальный одноатомный газ. В начальный момент времени поршень закреплён, а параметры состояния газа — давление, объём и температура — в одной части цилиндра равны p1 = 1 атм, V1 = 1 л и Т1 = 300 К, а в другой, соответственно, р2 = 2 атм, V2 = 1 л и Т2 = 600 К. Поршень отпускают, и он начинает двигаться без трения. Какое давление газа установится в цилиндре спустя достаточно долгое время, когда будет достигнуто состояние равновесия? Теплоёмкостями цилиндра и поршня можно пренебречь.
Источник: ФИПИ
$p_{1}=1$ атм, $V_{1}=1$ л, $T_{1}=300$ К; $p_{2}=2$ атм, $V_{2}=1$ л, $T_{2}=600$ К; газ одноатомный; поршень теплопроводный, невесомый, без трения; цилиндр теплоизолирован.
$p$ — установившееся давление.
Это две «комнаты» газа с подвижной металлической перегородкой. Металл проводит тепло — температуры сравняются (как два чайника через общую стенку). Поршень невесом и без трения — в равновесии он замрёт там, где давления с обеих сторон одинаковы.
Сколько вещества в каждой части, считать не обязательно — заметим лишь, что $\nu R=\dfrac{pV}{T}$. Слева: $\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{1\cdot1}{300}$; справа: $\dfrac{p_2V_2}{T_2}=\dfrac{2\cdot1}{600}=\dfrac{1}{300}$ — то есть молей поровну, $\nu_1=\nu_2$.
Цилиндр теплоизолирован и жёсткий: тепло наружу не уходит, суммарный объём постоянен $V_\text{сум}=V_1+V_2=2$ л. Поршень двигается внутри, поэтому полная внутренняя энергия сохраняется. Для одноатомного газа $U=\tfrac{3}{2}\nu RT=\tfrac{3}{2}pV$, значит:
$\tfrac{3}{2}(p_1V_1+p_2V_2)=\tfrac{3}{2}\,p\,V_\text{сум}\;\Rightarrow\;p_1V_1+p_2V_2=p\,(V_1+V_2).$
Выражаем итоговое давление:
$p=\dfrac{p_1V_1+p_2V_2}{V_1+V_2}=\dfrac{1\cdot1+2\cdot1}{1+1}=\dfrac{3}{2}=1{,}5\ \text{атм}.$
В обеих частях установится одно давление $1{,}5$ атм — среднее между $1$ и $2$ атм, потому что объёмы исходно равны.
$p=1{,}5$ атм