ID: 00016833
В теплоизолированном цилиндре, разделённом на две части тонким невесомым теплопроводящим поршнем, находится идеальный одноатомный газ. В начальный момент времени поршень закреплён, а параметры состояния газа — давление, объём и температура — в одной части цилиндра равны p1 = 1 атм, V1 = 1 л и Т1 = 300 К, а в другой, соответственно, р2 = 2 атм, V2 = 1 л и Т2 = 600 К. Поршень отпускают, и он начинает двигаться без трения. Какое давление газа установится в цилиндре спустя достаточно долгое время, когда будет достигнуто состояние равновесия? Теплоёмкостями цилиндра и поршня можно пренебречь.
Источник: ФИПИ
p_{1}=1 атм, V_{1}=1 л, T_{1}=300 К; p_{2}=2 атм, V_{2}=1 л, T_{2}=600 К; газ одноатомный; поршень теплопроводный, невесомый, без трения; цилиндр теплоизолирован.
p — установившееся давление.
Это две «комнаты» газа с подвижной металлической перегородкой. Металл проводит тепло — температуры сравняются (как два чайника через общую стенку). Поршень невесом и без трения — в равновесии он замрёт там, где давления с обеих сторон одинаковы.
Сколько вещества в каждой части, считать не обязательно — заметим лишь, что \nu R=\dfrac{pV}{T}. Слева: \dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{1\cdot1}{300}; справа: \dfrac{p_2V_2}{T_2}=\dfrac{2\cdot1}{600}=\dfrac{1}{300} — то есть молей поровну, \nu_1=\nu_2.
Цилиндр теплоизолирован и жёсткий: тепло наружу не уходит, суммарный объём постоянен V_\text{сум}=V_1+V_2=2 л. Поршень двигается внутри, поэтому полная внутренняя энергия сохраняется. Для одноатомного газа U=\tfrac{3}{2}\nu RT=\tfrac{3}{2}pV, значит:
\tfrac{3}{2}(p_1V_1+p_2V_2)=\tfrac{3}{2}\,p\,V_\text{сум}\;\Rightarrow\;p_1V_1+p_2V_2=p\,(V_1+V_2).
Выражаем итоговое давление:
p=\dfrac{p_1V_1+p_2V_2}{V_1+V_2}=\dfrac{1\cdot1+2\cdot1}{1+1}=\dfrac{3}{2}=1{,}5\ \text{атм}.
В обеих частях установится одно давление 1{,}5 атм — среднее между 1 и 2 атм, потому что объёмы исходно равны.
p=1{,}5 атм