ID: 00016826
В гладком закреплённом теплоизолированном горизонтальном цилиндре находится 1 моль идеального одноатомного газа (гелия) при температуре T1 = 200 К, отделённый от окружающей среды — вакуума — теплоизолированным поршнем массой m = 3 кг. Вначале поршень удерживали на месте, а затем придали ему скорость V = 15 м/с, направленную в сторону газа. Чему будет равна среднеквадратичная скорость атомов гелия в момент остановки поршня? Поршень в цилиндре движется без трения.
Источник: ФИПИ
$\nu=1$ моль (гелий, одноатомный, $M=4\cdot10^{-3}$ кг/моль); $\;T_1=200$ К; $\;m=3$ кг (поршень); $\;V=15$ м/с; $\;$ снаружи вакуум, цилиндр теплоизолирован, трения нет; $\;R=8{,}31$ Дж/(моль·К).
$v_{\text{кв}}$ — среднеквадратичную скорость атомов гелия в момент остановки поршня.
Поршень налетает на газ, как кулак на воздушную подушку: он толкает газ, газ сопротивляется и тормозит поршень. Снаружи вакуум, поэтому атмосфера поршню не помогает и не мешает, а стенки теплоизолированы — тепло никуда не утекает. Значит вся кинетическая энергия поршня без потерь перельётся в тепловую «копилку» газа (его внутреннюю энергию).
Закон сохранения энергии (вся кинетическая энергия поршня $\to$ прирост внутренней энергии газа):
$\dfrac{mV^2}{2}=\Delta U=\dfrac{3}{2}\,\nu R\,(T_2-T_1).$
Отсюда конечная температура:
$T_2=T_1+\dfrac{mV^2}{3\,\nu R}=200+\dfrac{3\cdot15^2}{3\cdot1\cdot8{,}31}=200+\dfrac{675}{24{,}93}\approx 200+27{,}1\approx 227{,}1\ \text{К}.$
Среднеквадратичная скорость атомов связана с температурой формулой
$v_{\text{кв}}=\sqrt{\dfrac{3RT_2}{M}}=\sqrt{\dfrac{3\cdot8{,}31\cdot227{,}1}{4\cdot10^{-3}}}\approx\sqrt{1{,}415\cdot10^{6}}\approx 1190\ \text{м/с}.$
Получилось около $1190$ м/с. Толчок поршня нагрел гелий на $\approx27$ К, и его атомы «разогнались» до почти $1{,}2$ км/с — лёгкий гелий вообще очень шустрый.
$v_{\text{кв}} \approx 1190$ м/с (среднеквадратичная скорость атомов гелия в момент остановки поршня).