ID: 00016826
В гладком закреплённом теплоизолированном горизонтальном цилиндре находится 1 моль идеального одноатомного газа (гелия) при температуре T1 = 200 К, отделённый от окружающей среды — вакуума — теплоизолированным поршнем массой m = 3 кг. Вначале поршень удерживали на месте, а затем придали ему скорость V = 15 м/с, направленную в сторону газа. Чему будет равна среднеквадратичная скорость атомов гелия в момент остановки поршня? Поршень в цилиндре движется без трения.
Источник: ФИПИ
\nu=1 моль (гелий, одноатомный, M=4\cdot10^{-3} кг/моль); \;T_1=200 К; \;m=3 кг (поршень); \;V=15 м/с; \; снаружи вакуум, цилиндр теплоизолирован, трения нет; \;R=8{,}31 Дж/(моль·К).
v_{\text{кв}} — среднеквадратичную скорость атомов гелия в момент остановки поршня.
Поршень налетает на газ, как кулак на воздушную подушку: он толкает газ, газ сопротивляется и тормозит поршень. Снаружи вакуум, поэтому атмосфера поршню не помогает и не мешает, а стенки теплоизолированы — тепло никуда не утекает. Значит вся кинетическая энергия поршня без потерь перельётся в тепловую «копилку» газа (его внутреннюю энергию).
Закон сохранения энергии (вся кинетическая энергия поршня \to прирост внутренней энергии газа):
\dfrac{mV^2}{2}=\Delta U=\dfrac{3}{2}\,\nu R\,(T_2-T_1).
Отсюда конечная температура:
T_2=T_1+\dfrac{mV^2}{3\,\nu R}=200+\dfrac{3\cdot15^2}{3\cdot1\cdot8{,}31}=200+\dfrac{675}{24{,}93}\approx 200+27{,}1\approx 227{,}1\ \text{К}.
Среднеквадратичная скорость атомов связана с температурой формулой
v_{\text{кв}}=\sqrt{\dfrac{3RT_2}{M}}=\sqrt{\dfrac{3\cdot8{,}31\cdot227{,}1}{4\cdot10^{-3}}}\approx\sqrt{1{,}415\cdot10^{6}}\approx 1190\ \text{м/с}.
Получилось около 1190 м/с. Толчок поршня нагрел гелий на \approx27 К, и его атомы «разогнались» до почти 1{,}2 км/с — лёгкий гелий вообще очень шустрый.
v_{\text{кв}} \approx 1190 м/с (среднеквадратичная скорость атомов гелия в момент остановки поршня).