МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016826

Дано:

$\nu=1$ моль (гелий, одноатомный, $M=4\cdot10^{-3}$ кг/моль); $\;T_1=200$ К; $\;m=3$ кг (поршень); $\;V=15$ м/с; $\;$ снаружи вакуум, цилиндр теплоизолирован, трения нет; $\;R=8{,}31$ Дж/(моль·К).

Найти:

$v_{\text{кв}}$ — среднеквадратичную скорость атомов гелия в момент остановки поршня.

Решение:

Поршень налетает на газ, как кулак на воздушную подушку: он толкает газ, газ сопротивляется и тормозит поршень. Снаружи вакуум, поэтому атмосфера поршню не помогает и не мешает, а стенки теплоизолированы — тепло никуда не утекает. Значит вся кинетическая энергия поршня без потерь перельётся в тепловую «копилку» газа (его внутреннюю энергию).

Закон сохранения энергии (вся кинетическая энергия поршня $\to$ прирост внутренней энергии газа):

$\dfrac{mV^2}{2}=\Delta U=\dfrac{3}{2}\,\nu R\,(T_2-T_1).$

Отсюда конечная температура:

$T_2=T_1+\dfrac{mV^2}{3\,\nu R}=200+\dfrac{3\cdot15^2}{3\cdot1\cdot8{,}31}=200+\dfrac{675}{24{,}93}\approx 200+27{,}1\approx 227{,}1\ \text{К}.$

Среднеквадратичная скорость атомов связана с температурой формулой

$v_{\text{кв}}=\sqrt{\dfrac{3RT_2}{M}}=\sqrt{\dfrac{3\cdot8{,}31\cdot227{,}1}{4\cdot10^{-3}}}\approx\sqrt{1{,}415\cdot10^{6}}\approx 1190\ \text{м/с}.$

Получилось около $1190$ м/с. Толчок поршня нагрел гелий на $\approx27$ К, и его атомы «разогнались» до почти $1{,}2$ км/с — лёгкий гелий вообще очень шустрый.