Дано:

\nu=1 моль (аргон, одноатомный); \;T_1=600 К; \;p_1=4\cdot10^5 Па; \;p_2=10^5 Па; \; закон процесса: p\,V^2=\text{const}; \;R=8{,}31 Дж/(моль·К).

Найти:

\Delta U — изменение внутренней энергии аргона.

Решение:

Внутренняя энергия одноатомного газа — это «копилка теплового движения» атомов, и зависит она только от температуры, как уровень воды в баке зависит только от того, сколько налили, а не как наливали. Поэтому нам не важна вся хитрая дорога процесса — важны только начальная и конечная температуры.

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа:

U=\dfrac{3}{2}\,\nu R T \;\Rightarrow\; \Delta U=\dfrac{3}{2}\,\nu R\,(T_2-T_1).

Осталось найти T_2. Свяжем закон процесса p\,V^2=\text{const} с уравнением состояния pV=\nu R T. Из него V=\dfrac{\nu R T}{p}; подставим в закон процесса:

p\left(\dfrac{\nu R T}{p}\right)^2=\text{const}\;\Rightarrow\;\dfrac{(\nu R)^2 T^2}{p}=\text{const}\;\Rightarrow\;\dfrac{T^2}{p}=\text{const}.

Значит \dfrac{T_1^2}{p_1}=\dfrac{T_2^2}{p_2}, откуда

T_2=T_1\sqrt{\dfrac{p_2}{p_1}}=600\sqrt{\dfrac{10^5}{4\cdot10^5}}=600\cdot\dfrac{1}{2}=300\ \text{К}.

Теперь считаем изменение внутренней энергии:

\Delta U=\dfrac{3}{2}\cdot1\cdot8{,}31\cdot(300-600)=\dfrac{3}{2}\cdot8{,}31\cdot(-300)\approx -3740\ \text{Дж}.

Газ остыл вдвое — и его тепловая «копилка» обеднела примерно на 3{,}74 кДж. Минус говорит именно об уменьшении внутренней энергии.