ID: 00016824
Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре T1 = 600 К и давлении p1 = 4⋅105 Па, расширяется и одновременно охлаждается так, что его давление при расширении обратно пропорционально квадрату объёма. Конечное давление газа p2 = 105 Па. Чему равна внутренняя энергия газа после расширения?
Источник: ФИПИ
\nu=1 моль (аргон, одноатомный); \;T_1=600 К; \;p_1=4\cdot10^5 Па; \;p\propto\dfrac{1}{V^2} (то есть pV^2=\text{const}); \;p_2=10^5 Па; \;R=8{,}31 Дж/(моль·К).
U_2 — внутреннюю энергию газа после расширения.
Внутренняя энергия одноатомного газа — это просто «копилка» его теплового движения, и зависит она лишь от температуры: U=\dfrac{3}{2}\nu RT. Значит, вся задача — найти конечную температуру T_2. А подсказку даёт необычный закон процесса pV^2=\text{const}: по нему из отношения давлений вытащим, во сколько раз изменился объём, а оттуда — температуру.
Из закона процесса p_1V_1^2=p_2V_2^2 находим отношение объёмов:
\dfrac{V_2}{V_1}=\sqrt{\dfrac{p_1}{p_2}}=\sqrt{\dfrac{4\cdot10^5}{10^5}}=\sqrt{4}=2.
Теперь свяжем температуру с объёмом. Подставив p=\dfrac{\nu RT}{V} в pV^2=\text{const}, получаем TV=\text{const}, то есть T\propto\dfrac{1}{V}. Значит, при удвоении объёма температура падает вдвое:
T_2=T_1\dfrac{V_1}{V_2}=600\cdot\dfrac{1}{2}=300\ \text{К}.
Осталось подставить в формулу внутренней энергии одноатомного газа:
U_2=\dfrac{3}{2}\nu R T_2=\dfrac{3}{2}\cdot1\cdot8{,}31\cdot300\approx3740\ \text{Дж}.
Внутренняя энергия после расширения около 3740 Дж. Газ расширился и остыл вдвое — «копилка» теплового движения уменьшилась пропорционально температуре.
U_2\approx3740 Дж