ID: 00016823
Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре T1 = 600 K и давлении p1 = 4⋅105 Па, расширяется и одновременно охлаждается так, что его давление при расширении обратно пропорционально квадрату объёма. Конечный объём газа вдвое больше начального. Какую работу совершил газ при расширении, если он отдал холодильнику Q = 1247 Дж теплоты?
Источник: ФИПИ
$\nu=1$ моль (аргон, одноатомный); $\;T_1=600$ К; $\;p_1=4\cdot10^5$ Па; $\;p\propto\dfrac{1}{V^2}$ (то есть $pV^2=\text{const}$); $\;V_2=2V_1$; $\;Q_{\text{отд}}=1247$ Дж (отдано холодильнику); $\;R=8{,}31$ Дж/(моль·К).
$A$ — работу, совершённую газом при расширении.
Газ ведёт себя как банковский счёт: запас тепла внутри (внутренняя энергия) можно потратить двумя путями — отдать наружу теплом или «потратить на работу», расталкивая поршень. Здесь газ одновременно расширяется (значит, работает, толкая поршень) и охлаждается (отдаёт тепло). Раскрутим первый закон термодинамики — закон сохранения для этого «счёта».
Сначала найдём конечную температуру. По условию $pV^2=\text{const}$. Свяжем с температурой через $pV=\nu RT$, откуда $p=\dfrac{\nu RT}{V}$. Подставим в $pV^2$:
$\dfrac{\nu RT}{V}\cdot V^2=\nu RTV=\text{const}\;\Rightarrow\;TV=\text{const}\;\Rightarrow\;T\propto\dfrac{1}{V}.$
Раз $V_2=2V_1$, температура падает вдвое: $T_2=\dfrac{T_1}{2}=300$ К.
Изменение внутренней энергии одноатомного газа:
$\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\,(T_2-T_1)=\dfrac{3}{2}\cdot1\cdot8{,}31\cdot(300-600)\approx-3740\ \text{Дж}.$
Первый закон термодинамики: $Q=\Delta U+A$, где $Q$ — теплота, полученная газом. Газ тепло отдал, поэтому $Q=-Q_{\text{отд}}=-1247$ Дж. Выражаем работу газа:
$A=Q-\Delta U=-1247-(-3740)=-1247+3740\approx2493\ \text{Дж}.$
Газ совершил положительную работу около $2493$ Дж: он расширялся и толкал поршень. Откуда энергия, если тепло он не получал, а отдавал? Из своего «запаса» — внутренняя энергия упала на $3740$ Дж, из них $1247$ Дж ушли холодильнику, а остальные $2493$ Дж превратились в работу.
$A\approx2493$ Дж