ID: 00016823
Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре T1 = 600 K и давлении p1 = 4⋅105 Па, расширяется и одновременно охлаждается так, что его давление при расширении обратно пропорционально квадрату объёма. Конечный объём газа вдвое больше начального. Какую работу совершил газ при расширении, если он отдал холодильнику Q = 1247 Дж теплоты?
Источник: ФИПИ
\nu=1 моль (аргон, одноатомный); \;T_1=600 К; \;p_1=4\cdot10^5 Па; \;p\propto\dfrac{1}{V^2} (то есть pV^2=\text{const}); \;V_2=2V_1; \;Q_{\text{отд}}=1247 Дж (отдано холодильнику); \;R=8{,}31 Дж/(моль·К).
A — работу, совершённую газом при расширении.
Газ ведёт себя как банковский счёт: запас тепла внутри (внутренняя энергия) можно потратить двумя путями — отдать наружу теплом или «потратить на работу», расталкивая поршень. Здесь газ одновременно расширяется (значит, работает, толкая поршень) и охлаждается (отдаёт тепло). Раскрутим первый закон термодинамики — закон сохранения для этого «счёта».
Сначала найдём конечную температуру. По условию pV^2=\text{const}. Свяжем с температурой через pV=\nu RT, откуда p=\dfrac{\nu RT}{V}. Подставим в pV^2:
\dfrac{\nu RT}{V}\cdot V^2=\nu RTV=\text{const}\;\Rightarrow\;TV=\text{const}\;\Rightarrow\;T\propto\dfrac{1}{V}.
Раз V_2=2V_1, температура падает вдвое: T_2=\dfrac{T_1}{2}=300 К.
Изменение внутренней энергии одноатомного газа:
\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\,(T_2-T_1)=\dfrac{3}{2}\cdot1\cdot8{,}31\cdot(300-600)\approx-3740\ \text{Дж}.
Первый закон термодинамики: Q=\Delta U+A, где Q — теплота, полученная газом. Газ тепло отдал, поэтому Q=-Q_{\text{отд}}=-1247 Дж. Выражаем работу газа:
A=Q-\Delta U=-1247-(-3740)=-1247+3740\approx2493\ \text{Дж}.
Газ совершил положительную работу около 2493 Дж: он расширялся и толкал поршень. Откуда энергия, если тепло он не получал, а отдавал? Из своего «запаса» — внутренняя энергия упала на 3740 Дж, из них 1247 Дж ушли холодильнику, а остальные 2493 Дж превратились в работу.
A\approx2493 Дж