МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016823

Дано:

$\nu=1$ моль (аргон, одноатомный); $\;T_1=600$ К; $\;p_1=4\cdot10^5$ Па; $\;p\propto\dfrac{1}{V^2}$ (то есть $pV^2=\text{const}$); $\;V_2=2V_1$; $\;Q_{\text{отд}}=1247$ Дж (отдано холодильнику); $\;R=8{,}31$ Дж/(моль·К).

Найти:

$A$ — работу, совершённую газом при расширении.

Решение:

Газ ведёт себя как банковский счёт: запас тепла внутри (внутренняя энергия) можно потратить двумя путями — отдать наружу теплом или «потратить на работу», расталкивая поршень. Здесь газ одновременно расширяется (значит, работает, толкая поршень) и охлаждается (отдаёт тепло). Раскрутим первый закон термодинамики — закон сохранения для этого «счёта».

Сначала найдём конечную температуру. По условию $pV^2=\text{const}$. Свяжем с температурой через $pV=\nu RT$, откуда $p=\dfrac{\nu RT}{V}$. Подставим в $pV^2$:

$\dfrac{\nu RT}{V}\cdot V^2=\nu RTV=\text{const}\;\Rightarrow\;TV=\text{const}\;\Rightarrow\;T\propto\dfrac{1}{V}.$

Раз $V_2=2V_1$, температура падает вдвое: $T_2=\dfrac{T_1}{2}=300$ К.

Изменение внутренней энергии одноатомного газа:

$\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\,(T_2-T_1)=\dfrac{3}{2}\cdot1\cdot8{,}31\cdot(300-600)\approx-3740\ \text{Дж}.$

Первый закон термодинамики: $Q=\Delta U+A$, где $Q$ — теплота, полученная газом. Газ тепло отдал, поэтому $Q=-Q_{\text{отд}}=-1247$ Дж. Выражаем работу газа:

$A=Q-\Delta U=-1247-(-3740)=-1247+3740\approx2493\ \text{Дж}.$

Газ совершил положительную работу около $2493$ Дж: он расширялся и толкал поршень. Откуда энергия, если тепло он не получал, а отдавал? Из своего «запаса» — внутренняя энергия упала на $3740$ Дж, из них $1247$ Дж ушли холодильнику, а остальные $2493$ Дж превратились в работу.