ID: 00016822
Вертикальный цилиндр объёмом V0 = 15 л, заполненный воздухом с температурой T = 20 °C при атмосферном давлении pA = 105 Па, закрыли сверху поршнем массой m = 10 кг и площадью S = 250 см2, который может перемещаться по вертикали без трения. После того, как в системе установилось равновесие при той же постоянной температуре, в дне цилиндра образовалась течь. Через неё воздух начал медленно выходить наружу, в атмосферу, со скоростью потери числа N молекул в цилиндре, пропорциональной разности давлений (P-Pa) в цилиндре и в окружающей атмосфере и равной ∆N/∆t = a(P-Pa), где коэффициент пропорциональности a = 2,58x1016 (Па ⋅ c-1). Процесс вытекания газа можно считать изотермическим, происходящим при той же температуре T = 20 °C. Через какое время t из цилиндра выйдет весь воздух? Термодинамика: Простые
Источник: ФИПИ
$V_0=15$ л $=0{,}015$ м³; $\;T=20\,^\circ\text{C}=293$ К; $\;p_A=10^5$ Па; $\;m=10$ кг; $\;S=250$ см² $=0{,}025$ м²; $\;\dfrac{\Delta N}{\Delta t}=a(P-p_A)$, $\;a=2{,}58\cdot10^{16}$ Па⁻¹·с⁻¹; $\;k=1{,}38\cdot10^{-23}$ Дж/К; $\;g=10$ м/с². Процесс изотермический.
$t$ — время полного выхода воздуха.
Хитрость задачи: поршень — как крышка-гиря, которая всё время додавливает воздух с одной и той же силой. Поэтому, сколько бы воздуха ни вытекло, давление под поршнем не меняется — поршень просто опускается. А раз давление постоянно, постоянна и «течь» (она зависит только от разности давлений). Значит молекулы уходят равномерным ручейком — осталось поделить их общее число на скорость утечки.
Найдём давление под поршнем. Поршень в равновесии (второй закон Ньютона при нулевом ускорении): снизу газ $P\cdot S$, сверху атмосфера $p_A\cdot S$ и вес $mg$. Отсюда
$P=p_A+\dfrac{mg}{S}=10^5+\dfrac{10\cdot10}{0{,}025}=10^5+4000=1{,}04\cdot10^5\ \text{Па}.$
Пока поршень может опускаться, это давление держится постоянным, поэтому разность $P-p_A=\dfrac{mg}{S}=4000$ Па не меняется, и скорость утечки тоже постоянна:
$\dfrac{\Delta N}{\Delta t}=a(P-p_A)=2{,}58\cdot10^{16}\cdot4000\approx1{,}03\cdot10^{20}\ \text{с}^{-1}.$
Полное число молекул в начале найдём из уравнения $P V_0=N k T$ (то же $p=nkT$):
$N=\dfrac{P V_0}{kT}=\dfrac{1{,}04\cdot10^5\cdot0{,}015}{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot293}\approx3{,}86\cdot10^{23}.$
Так как ручеёк молекул постоянный, всё время — это число, делённое на скорость:
$t=\dfrac{N}{a(P-p_A)}=\dfrac{3{,}86\cdot10^{23}}{1{,}03\cdot10^{20}}\approx3{,}7\cdot10^{3}\ \text{с}\approx1\ \text{час}.$
Около $3700$ секунд — примерно час. Ключевая идея: поршень-гиря удерживает избыточное давление неизменным, поэтому газ выходит равномерно, и задача сводится к простому делению.
$t\approx3{,}7\cdot10^3$ с $\approx1$ час