ID: 00016821
С одним молем неона провели процесс, в котором газ из начального состояния с давлением p1 = 105 Па и объёмом V1 = 25 л перешёл в конечное состояние с объёмом V2 = 50 л. Давление при этом изменялось по линейному закону p = po + aV, где p0 — некоторая постоянная величина, a = p1/2V1. На какую величину изменилась при этом среднеквадратичная скорость движения атомов неона?
Источник: ФИПИ
\nu=1 моль (неон, M=20 г/моль =0{,}02 кг/моль); \;p_1=10^5 Па; \;V_1=25 л =0{,}025 м³; \;V_2=50 л =0{,}05 м³; \;p=p_0+aV, \;a=\dfrac{p_1}{2V_1}; \;R=8{,}31 Дж/(моль·К).
\Delta\upsilon — изменение среднеквадратичной скорости атомов.
Скорость атомов — это их «резвость», и зависит она только от температуры: теплее — быстрее. А температуру в каждой точке прямой p=p_0+aV выдаёт произведение pV. Поэтому план простой: найдём давление в начале и в конце, через pV=\nu RT получим две температуры, а из них — две скорости.
Сначала найдём постоянную p_0. В начальной точке p_1=p_0+aV_1, а a=\dfrac{p_1}{2V_1}, поэтому p_1=p_0+\dfrac{p_1}{2V_1}V_1=p_0+\dfrac{p_1}{2}\;\Rightarrow\;p_0=\dfrac{p_1}{2}.
Конечное давление при V_2=2V_1:
p_2=p_0+aV_2=\dfrac{p_1}{2}+\dfrac{p_1}{2V_1}\cdot2V_1=\dfrac{p_1}{2}+p_1=\dfrac{3p_1}{2}.
Среднеквадратичная скорость \upsilon=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}, а температуру берём из уравнения состояния T=\dfrac{pV}{\nu R}. Подставив, получаем удобную формулу через pV:
\upsilon=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}=\sqrt{\dfrac{3pV}{\nu M}}.
Начальная и конечная скорости (\nu=1, M=0{,}02 кг/моль):
\upsilon_1=\sqrt{\dfrac{3p_1V_1}{M}}=\sqrt{\dfrac{3\cdot10^5\cdot0{,}025}{0{,}02}}\approx612\ \text{м/с},
\upsilon_2=\sqrt{\dfrac{3p_2V_2}{M}}=\sqrt{\dfrac{3\cdot1{,}5\cdot10^5\cdot0{,}05}{0{,}02}}\approx1061\ \text{м/с}.
Изменение скорости:
\Delta\upsilon=\upsilon_2-\upsilon_1\approx1061-612\approx448\ \text{м/с}.
Газ расширили и при этом нагрели (произведение pV выросло втрое: давление в 1{,}5 раза, объём вдвое), поэтому атомы заметно ускорились — почти на 450 м/с.
\Delta \upsilon \approx 448 м/с (скорость возросла).