МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016821

Дано:

$\nu=1$ моль (неон, $M=20$ г/моль $=0{,}02$ кг/моль); $\;p_1=10^5$ Па; $\;V_1=25$ л $=0{,}025$ м³; $\;V_2=50$ л $=0{,}05$ м³; $\;p=p_0+aV$, $\;a=\dfrac{p_1}{2V_1}$; $\;R=8{,}31$ Дж/(моль·К).

Найти:

$\Delta\upsilon$ — изменение среднеквадратичной скорости атомов.

Решение:

Скорость атомов — это их «резвость», и зависит она только от температуры: теплее — быстрее. А температуру в каждой точке прямой $p=p_0+aV$ выдаёт произведение $pV$. Поэтому план простой: найдём давление в начале и в конце, через $pV=\nu RT$ получим две температуры, а из них — две скорости.

Сначала найдём постоянную $p_0$. В начальной точке $p_1=p_0+aV_1$, а $a=\dfrac{p_1}{2V_1}$, поэтому $p_1=p_0+\dfrac{p_1}{2V_1}V_1=p_0+\dfrac{p_1}{2}\;\Rightarrow\;p_0=\dfrac{p_1}{2}.$

Конечное давление при $V_2=2V_1$:

$p_2=p_0+aV_2=\dfrac{p_1}{2}+\dfrac{p_1}{2V_1}\cdot2V_1=\dfrac{p_1}{2}+p_1=\dfrac{3p_1}{2}.$

Среднеквадратичная скорость $\upsilon=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$, а температуру берём из уравнения состояния $T=\dfrac{pV}{\nu R}$. Подставив, получаем удобную формулу через $pV$:

$\upsilon=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}=\sqrt{\dfrac{3pV}{\nu M}}.$

Начальная и конечная скорости ($\nu=1$, $M=0{,}02$ кг/моль):

$\upsilon_1=\sqrt{\dfrac{3p_1V_1}{M}}=\sqrt{\dfrac{3\cdot10^5\cdot0{,}025}{0{,}02}}\approx612\ \text{м/с},$

$\upsilon_2=\sqrt{\dfrac{3p_2V_2}{M}}=\sqrt{\dfrac{3\cdot1{,}5\cdot10^5\cdot0{,}05}{0{,}02}}\approx1061\ \text{м/с}.$

Изменение скорости:

$\Delta\upsilon=\upsilon_2-\upsilon_1\approx1061-612\approx448\ \text{м/с}.$

Газ расширили и при этом нагрели (произведение $pV$ выросло втрое: давление в $1{,}5$ раза, объём вдвое), поэтому атомы заметно ускорились — почти на $450$ м/с.