ID: 00016819
В цилиндре под поршнем находится некоторое количество идеального одноатомного газа, среднеквадратичная скорость молекул которого равна u = 400 м/с. В результате некоторого процесса объём газа увеличился на a = 80%, а давление уменьшилось на b = 20%. Каким стало новое значение υ среднеквадратичной скорости молекул этого газа?
Источник: ФИПИ
u=400 м/с; \;\dfrac{\Delta V}{V_1}=a=80\%\Rightarrow V_2=1{,}8\,V_1; \;\dfrac{\Delta p}{p_1}=b=20\%\Rightarrow p_2=0{,}8\,p_1; \nu=\text{const}.
\upsilon — новую среднеквадратичную скорость молекул.
Среднеквадратичная скорость молекул — это как «средняя резвость» роя пчёл: чем теплее, тем шустрее они летают. А «теплее» в газе прячется в произведении давления на объём. Поэтому, чтобы узнать новую резвость, достаточно понять, как изменилось произведение pV, а через него — температура.
Среднеквадратичная скорость связана с температурой: u=\sqrt{\dfrac{3kT}{m_0}}, то есть u\propto\sqrt{T}. Значит,
\dfrac{\upsilon}{u}=\sqrt{\dfrac{T_2}{T_1}}.
Температуру свяжем с состоянием газа через уравнение Менделеева — Клапейрона pV=\nu RT. Количество вещества не меняется, поэтому
\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{p_2 V_2}{p_1 V_1}=(1-b)(1+a)=0{,}8\cdot1{,}8=1{,}44.
Подставляем в выражение для скорости:
\upsilon=u\sqrt{\dfrac{T_2}{T_1}}=400\cdot\sqrt{1{,}44}=400\cdot1{,}2=480\ \text{м/с}.
Газ нагрелся (произведение pV выросло в 1{,}44 раза), поэтому молекулы стали быстрее: вместо 400 м/с теперь 480 м/с. Корень из 1{,}44 ровно 1{,}2 — отсюда красивый прирост на 20\%.
\upsilon = 480 м/с