МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016813

Дано:

В каждой части по $\nu=1$ моль газа; начальное отношение объёмов $\dfrac{V_\text{в}}{V_\text{н}}=2$; температура $T$ всюду одинакова и постоянна; из верхней части газ полностью откачали (там стал вакуум).

Найти:

$\dfrac{V_\text{в}'}{V_\text{н}'}$ — отношение объёмов после установления нового равновесия.

Решение:

Поршень — как тяжёлая плита на надувном матрасе. Снизу его подпирает нижний газ, сверху — верхний газ плюс собственный вес плиты. Чтобы плита висела неподвижно, нижний газ всегда давит сильнее верхнего ровно на «вес плиты, размазанный по площади».

Запишем равновесие поршня (площадь $S$, масса $m$). Снизу давление $p_\text{н}$, сверху $p_\text{в}$ плюс вес:

$$p_\text{н}S=p_\text{в}S+mg\;\Rightarrow\;p_\text{н}-p_\text{в}=\frac{mg}{S}.$$

В каждой части по $1$ моль при одной $T$, поэтому $pV=\nu RT=\text{const}$ для каждой части: $p_\text{в}V_\text{в}=p_\text{н}V_\text{н}$. С учётом $V_\text{в}=2V_\text{н}$ получаем $p_\text{в}\cdot2V_\text{н}=p_\text{н}V_\text{н}$, то есть $p_\text{н}=2p_\text{в}$. Тогда из равновесия $\dfrac{mg}{S}=p_\text{н}-p_\text{в}=p_\text{в}$, то есть «вес плиты» по давлению равен $p_\text{в}$.

Теперь верх откачали: сверху вакуум ($p=0$). Поршень держит снизу только нижний газ против собственного веса:

$$p_\text{н}'S=mg\;\Rightarrow\;p_\text{н}'=\frac{mg}{S}=p_\text{в}.$$

Нижний газ (всё те же $1$ моль, та же $T$) подчиняется закону Бойля — Мариотта: $p_\text{н}V_\text{н}=p_\text{н}'V_\text{н}'$. Подставим $p_\text{н}=2p_\text{в}$ и $p_\text{н}'=p_\text{в}$:

$$2p_\text{в}\,V_\text{н}=p_\text{в}\,V_\text{н}'\;\Rightarrow\;V_\text{н}'=2V_\text{н}.$$

Полный объём сосуда неизменен: $V_\text{в}+V_\text{н}=3V_\text{н}$. После откачки $V_\text{в}'=3V_\text{н}-V_\text{н}'=3V_\text{н}-2V_\text{н}=V_\text{н}$. Искомое отношение:

$$\frac{V_\text{в}'}{V_\text{н}'}=\frac{V_\text{н}}{2V_\text{н}}=0{,}5.$$

Логично: убрали верхний газ — поршень поднялся, нижний газ расширился вдвое, и верхняя «пустая» часть стала вдвое меньше нижней.