Дано:

В каждой части по \nu=1 моль газа; начальное отношение объёмов \dfrac{V_\text{в}}{V_\text{н}}=2; температура T всюду одинакова и постоянна; из верхней части газ полностью откачали (там стал вакуум).

Найти:

\dfrac{V_\text{в}'}{V_\text{н}'} — отношение объёмов после установления нового равновесия.

Решение:

Поршень — как тяжёлая плита на надувном матрасе. Снизу его подпирает нижний газ, сверху — верхний газ плюс собственный вес плиты. Чтобы плита висела неподвижно, нижний газ всегда давит сильнее верхнего ровно на «вес плиты, размазанный по площади».

Запишем равновесие поршня (площадь S, масса m). Снизу давление p_\text{н}, сверху p_\text{в} плюс вес:

p_\text{н}S=p_\text{в}S+mg\;\Rightarrow\;p_\text{н}-p_\text{в}=\frac{mg}{S}.

В каждой части по 1 моль при одной T, поэтому pV=\nu RT=\text{const} для каждой части: p_\text{в}V_\text{в}=p_\text{н}V_\text{н}. С учётом V_\text{в}=2V_\text{н} получаем p_\text{в}\cdot2V_\text{н}=p_\text{н}V_\text{н}, то есть p_\text{н}=2p_\text{в}. Тогда из равновесия \dfrac{mg}{S}=p_\text{н}-p_\text{в}=p_\text{в}, то есть «вес плиты» по давлению равен p_\text{в}.

Теперь верх откачали: сверху вакуум (p=0). Поршень держит снизу только нижний газ против собственного веса:

p_\text{н}'S=mg\;\Rightarrow\;p_\text{н}'=\frac{mg}{S}=p_\text{в}.

Нижний газ (всё те же 1 моль, та же T) подчиняется закону Бойля — Мариотта: p_\text{н}V_\text{н}=p_\text{н}'V_\text{н}'. Подставим p_\text{н}=2p_\text{в} и p_\text{н}'=p_\text{в}:

2p_\text{в}\,V_\text{н}=p_\text{в}\,V_\text{н}'\;\Rightarrow\;V_\text{н}'=2V_\text{н}.

Полный объём сосуда неизменен: V_\text{в}+V_\text{н}=3V_\text{н}. После откачки V_\text{в}'=3V_\text{н}-V_\text{н}'=3V_\text{н}-2V_\text{н}=V_\text{н}. Искомое отношение:

\frac{V_\text{в}'}{V_\text{н}'}=\frac{V_\text{н}}{2V_\text{н}}=0{,}5.

Логично: убрали верхний газ — поршень поднялся, нижний газ расширился вдвое, и верхняя «пустая» часть стала вдвое меньше нижней.