ID: 00016812
В холодное зимнее время хозяева квартиры стали замерзать при температуре в комнате T = +18 °C и, включив дополнительный обогреватель, добились повышения температуры на ΔT = 4 °C. На сколько при этом изменилась масса воздуха в комнате? Площадь комнаты S = 20 м2, высота потолка h = 2,5 м, атмосферное давление p = 105 Па, воздух в комнате свободно сообщается с атмосферой. Ответ выразите в килограммах, округлите до целого числа граммов.
Источник: ФИПИ
$T_1=+18\,^\circ\text{C}=291$ К; $\;\Delta T=4\,^\circ\text{C}$, значит $T_2=295$ К; $\;S=20$ м²; $\;h=2{,}5$ м; $\;p=10^5$ Па; $\;M=0{,}029$ кг/моль (воздух); $\;R=8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$. Комната сообщается с атмосферой.
$\Delta m=m_2-m_1$ — на сколько изменилась масса воздуха.
Комната — как дырявая корзина с воздухом: объём фиксированный (стены), а через щели воздух свободно ходит туда-сюда, поэтому давление внутри всегда равно уличному. Нагрели воздух — он «распух», стал реже, и лишняя часть просто выдавилась наружу. Объём остался прежним, а молекул внутри стало меньше — вот масса и упала.
Объём комнаты постоянен: $V=Sh=20\cdot2{,}5=50\ \text{м}^3$. Давление постоянно (связь с атмосферой): $p=10^5$ Па.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для воздуха в комнате до и после нагрева:
$$pV=\frac{m}{M}RT\;\Rightarrow\;m=\frac{pVM}{RT}.$$
Поскольку $p$, $V$, $M$ не меняются, масса обратно пропорциональна температуре. Изменение массы:
$$\Delta m=m_2-m_1=\frac{pVM}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)=\frac{pVM}{R}\cdot\frac{T_1-T_2}{T_1T_2}.$$
Подставляем числа:
$$\Delta m=\frac{10^5\cdot50\cdot0{,}029}{8{,}31}\cdot\frac{291-295}{291\cdot295}\approx-0{,}813\ \text{кг}.$$
Знак «минус» подтверждает: масса уменьшилась примерно на $0{,}813$ кг (около $813$ г). Тёплый воздух легче «по плотности», часть его ушла на улицу.
Масса воздуха уменьшилась на $\Delta m \approx 0{,}813$ кг $\approx 813$ г.