ID: 00016812
В холодное зимнее время хозяева квартиры стали замерзать при температуре в комнате T = +18 °C и, включив дополнительный обогреватель, добились повышения температуры на ΔT = 4 °C. На сколько при этом изменилась масса воздуха в комнате? Площадь комнаты S = 20 м2, высота потолка h = 2,5 м, атмосферное давление p = 105 Па, воздух в комнате свободно сообщается с атмосферой. Ответ выразите в килограммах, округлите до целого числа граммов.
Источник: ФИПИ
T_1=+18\,^\circ\text{C}=291 К; \;\Delta T=4\,^\circ\text{C}, значит T_2=295 К; \;S=20 м²; \;h=2{,}5 м; \;p=10^5 Па; \;M=0{,}029 кг/моль (воздух); \;R=8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}. Комната сообщается с атмосферой.
\Delta m=m_2-m_1 — на сколько изменилась масса воздуха.
Комната — как дырявая корзина с воздухом: объём фиксированный (стены), а через щели воздух свободно ходит туда-сюда, поэтому давление внутри всегда равно уличному. Нагрели воздух — он «распух», стал реже, и лишняя часть просто выдавилась наружу. Объём остался прежним, а молекул внутри стало меньше — вот масса и упала.
Объём комнаты постоянен: V=Sh=20\cdot2{,}5=50\ \text{м}^3. Давление постоянно (связь с атмосферой): p=10^5 Па.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для воздуха в комнате до и после нагрева:
pV=\frac{m}{M}RT\;\Rightarrow\;m=\frac{pVM}{RT}.
Поскольку p, V, M не меняются, масса обратно пропорциональна температуре. Изменение массы:
\Delta m=m_2-m_1=\frac{pVM}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)=\frac{pVM}{R}\cdot\frac{T_1-T_2}{T_1T_2}.
Подставляем числа:
\Delta m=\frac{10^5\cdot50\cdot0{,}029}{8{,}31}\cdot\frac{291-295}{291\cdot295}\approx-0{,}813\ \text{кг}.
Знак «минус» подтверждает: масса уменьшилась примерно на 0{,}813 кг (около 813 г). Тёплый воздух легче «по плотности», часть его ушла на улицу.
Масса воздуха уменьшилась на \Delta m \approx 0{,}813 кг \approx 813 г.