МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016806

Дано:

Закрытый сверху вертикальный цилиндр, тяжёлый поршень без трения; в начале $\nu_{\text{в}}=\nu_{\text{н}}=1$ моль; $\;\dfrac{V_{\text{в}}}{V_{\text{н}}}=2$; после уменьшения газа снизу на $\Delta\nu$ стало $\dfrac{V_{\text{в}}'}{V_{\text{н}}'}=3$; $T=\text{const}$.

Найти:

$\Delta\nu$ — сколько вещества убрали снизу.

Решение:

Представь цилиндр как банку с тяжёлой крышкой-поршнем посередине: сверху своя порция газа, снизу своя. Поршень давит вниз своим весом, поэтому нижний газ всегда сжат сильнее верхнего ровно на «вес поршня на единицу площади» — эта добавка $P=\dfrac{Mg}{S}$ постоянна, ведь поршень один и тот же. Температура держится постоянной, значит каждый газ живёт по закону Бойля — Мариотта ($pV=\nu RT=\text{const}$ при неизменном $\nu$).

Верхняя часть закрыта, газ оттуда никуда не девается: $\nu_{\text{в}}=1$ моль всё время. Связь давлений на поршне: $p_{\text{н}}=p_{\text{в}}+P$.

Начало. Для каждого газа $pV=\nu RT$. Так как молей поровну (по 1) и $T$ одна: $p_{\text{в}}V_{\text{в}}=p_{\text{н}}V_{\text{н}}=RT$. С учётом $V_{\text{в}}=2V_{\text{н}}$ получаем $p_{\text{в}}\cdot2V_{\text{н}}=p_{\text{н}}V_{\text{н}}$, то есть $p_{\text{н}}=2p_{\text{в}}$. Тогда из $p_{\text{н}}=p_{\text{в}}+P$ следует $P=p_{\text{в}}$.

Полный объём цилиндра постоянен: $V_{\text{в}}+V_{\text{н}}=2V_{\text{н}}+V_{\text{н}}=3V_{\text{н}}$. После: $V_{\text{в}}'=3V_{\text{н}}'$ и $V_{\text{в}}'+V_{\text{н}}'=3V_{\text{н}}$, откуда $V_{\text{н}}'=0{,}75V_{\text{н}}$, $V_{\text{в}}'=2{,}25V_{\text{н}}$.

Верхний газ (1 моль, $T=$const): $p_{\text{в}}'V_{\text{в}}'=p_{\text{в}}V_{\text{в}}\Rightarrow p_{\text{в}}'=p_{\text{в}}\dfrac{2V_{\text{н}}}{2{,}25V_{\text{н}}}=\dfrac{8}{9}p_{\text{в}}$. Тогда $p_{\text{н}}'=p_{\text{в}}'+P=\dfrac{8}{9}p_{\text{в}}+p_{\text{в}}=\dfrac{17}{9}p_{\text{в}}$.

Нижний газ после: $p_{\text{н}}'V_{\text{н}}'=\nu_{\text{н}}'RT$, где $\nu_{\text{н}}'=1-\Delta\nu$. Делим на начальное $RT=p_{\text{в}}\cdot2V_{\text{н}}$:

$$1-\Delta\nu=\frac{p_{\text{н}}'V_{\text{н}}'}{p_{\text{в}}\cdot2V_{\text{н}}}=\frac{\tfrac{17}{9}p_{\text{в}}\cdot0{,}75V_{\text{н}}}{2p_{\text{в}}V_{\text{н}}}=\frac{17}{9}\cdot\frac{0{,}75}{2}\approx0{,}708.$$

Отсюда $\Delta\nu=1-0{,}708\approx0{,}29$ моль. Столько газа выпустили снизу.