ID: 00016806
Закрытый сверху вертикальный цилиндрический сосуд, заполненный идеальным газом, разделён тяжёлым поршнем, способным скользить без трения, на две части. В начальном равновесном состоянии в верхней и нижней частях сосуда находилось по 1 моль газа, а отношение объёмов верхней и нижней частей сосуда было равно 2. После того, как количество газа в нижней части сосуда уменьшили на Δυ, соотношение объёмов верхней и нижней части стало равно 3. Температура поддерживалась постоянной, найдите Δυ (процесс перехода был длительный).
Источник: ФИПИ
Закрытый сверху вертикальный цилиндр, тяжёлый поршень без трения; в начале \nu_{\text{в}}=\nu_{\text{н}}=1 моль; \;\dfrac{V_{\text{в}}}{V_{\text{н}}}=2; после уменьшения газа снизу на \Delta\nu стало \dfrac{V_{\text{в}}'}{V_{\text{н}}'}=3; T=\text{const}.
\Delta\nu — сколько вещества убрали снизу.
Представь цилиндр как банку с тяжёлой крышкой-поршнем посередине: сверху своя порция газа, снизу своя. Поршень давит вниз своим весом, поэтому нижний газ всегда сжат сильнее верхнего ровно на «вес поршня на единицу площади» — эта добавка P=\dfrac{Mg}{S} постоянна, ведь поршень один и тот же. Температура держится постоянной, значит каждый газ живёт по закону Бойля — Мариотта (pV=\nu RT=\text{const} при неизменном \nu).
Верхняя часть закрыта, газ оттуда никуда не девается: \nu_{\text{в}}=1 моль всё время. Связь давлений на поршне: p_{\text{н}}=p_{\text{в}}+P.
Начало. Для каждого газа pV=\nu RT. Так как молей поровну (по 1) и T одна: p_{\text{в}}V_{\text{в}}=p_{\text{н}}V_{\text{н}}=RT. С учётом V_{\text{в}}=2V_{\text{н}} получаем p_{\text{в}}\cdot2V_{\text{н}}=p_{\text{н}}V_{\text{н}}, то есть p_{\text{н}}=2p_{\text{в}}. Тогда из p_{\text{н}}=p_{\text{в}}+P следует P=p_{\text{в}}.
Полный объём цилиндра постоянен: V_{\text{в}}+V_{\text{н}}=2V_{\text{н}}+V_{\text{н}}=3V_{\text{н}}. После: V_{\text{в}}'=3V_{\text{н}}' и V_{\text{в}}'+V_{\text{н}}'=3V_{\text{н}}, откуда V_{\text{н}}'=0{,}75V_{\text{н}}, V_{\text{в}}'=2{,}25V_{\text{н}}.
Верхний газ (1 моль, T=const): p_{\text{в}}'V_{\text{в}}'=p_{\text{в}}V_{\text{в}}\Rightarrow p_{\text{в}}'=p_{\text{в}}\dfrac{2V_{\text{н}}}{2{,}25V_{\text{н}}}=\dfrac{8}{9}p_{\text{в}}. Тогда p_{\text{н}}'=p_{\text{в}}'+P=\dfrac{8}{9}p_{\text{в}}+p_{\text{в}}=\dfrac{17}{9}p_{\text{в}}.
Нижний газ после: p_{\text{н}}'V_{\text{н}}'=\nu_{\text{н}}'RT, где \nu_{\text{н}}'=1-\Delta\nu. Делим на начальное RT=p_{\text{в}}\cdot2V_{\text{н}}:
1-\Delta\nu=\frac{p_{\text{н}}'V_{\text{н}}'}{p_{\text{в}}\cdot2V_{\text{н}}}=\frac{\tfrac{17}{9}p_{\text{в}}\cdot0{,}75V_{\text{н}}}{2p_{\text{в}}V_{\text{н}}}=\frac{17}{9}\cdot\frac{0{,}75}{2}\approx0{,}708.
Отсюда \Delta\nu=1-0{,}708\approx0{,}29 моль. Столько газа выпустили снизу.
\Delta\nu \approx 0{,}29 моль