Дано:

V=20 л =0{,}02\ \text{м}^3; \;\nu=1 моль; \;p=10^{5} Па; \;A=500 Дж — работа газа; теплоизоляция (процесс адиабатный); неон одноатомный, M=0{,}020\ \text{кг/моль}; \;R=8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}.

Найти:

\Delta v — изменение среднеквадратичной скорости атомов.

Решение:

Газ под поршнем — как сжатая пружина наоборот: чтобы толкнуть поршень и совершить работу, газу неоткуда взять энергию, кроме как из собственного «внутреннего запаса». Сосуд теплоизолирован, тепло снаружи не подвести (Q=0), поэтому вся работа делается за счёт внутренней энергии — газ как бы «худеет» по энергии и остывает. А раз атомы остывают, они и бегают медленнее.

Первый закон термодинамики для адиабатного процесса (Q=0): \;0=\Delta U + A, откуда \Delta U = -A. Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия U=\dfrac{3}{2}\nu R T, значит \Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T. Тогда

\Delta T = \frac{\Delta U}{\tfrac{3}{2}\nu R} = \frac{-A}{\tfrac{3}{2}\nu R}.

Начальную температуру найдём из уравнения Менделеева — Клапейрона pV=\nu R T_1:

T_1=\frac{pV}{\nu R}=\frac{10^{5}\cdot 0{,}02}{1\cdot 8{,}31}\approx 240{,}7\ \text{К}.

Изменение температуры: \Delta T = \dfrac{-500}{1{,}5\cdot 1\cdot 8{,}31}\approx -40{,}1\ \text{К}, то есть T_2\approx 200{,}6\ \text{К}. Среднеквадратичная скорость связана с температурой формулой v=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}. Считаем «до» и «после»:

v_1=\sqrt{\frac{3\cdot8{,}31\cdot240{,}7}{0{,}020}}\approx 548\ \text{м/с},\qquad v_2=\sqrt{\frac{3\cdot8{,}31\cdot200{,}6}{0{,}020}}\approx 500\ \text{м/с}.

Изменение скорости: \Delta v = v_2 - v_1 \approx 500-548 = -48\ \text{м/с}. Минус подтверждает: совершая работу в теплоизоляции, газ остыл, и атомы стали бегать примерно на 48 м/с медленнее.