МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016593

Дано:

$V=20$ л $=0{,}02\ \text{м}^3$; $\;\nu=1$ моль; $\;p=10^{5}$ Па; $\;A=500$ Дж — работа газа; теплоизоляция (процесс адиабатный); неон одноатомный, $M=0{,}020\ \text{кг/моль}$; $\;R=8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$.

Найти:

$\Delta v$ — изменение среднеквадратичной скорости атомов.

Решение:

Газ под поршнем — как сжатая пружина наоборот: чтобы толкнуть поршень и совершить работу, газу неоткуда взять энергию, кроме как из собственного «внутреннего запаса». Сосуд теплоизолирован, тепло снаружи не подвести ($Q=0$), поэтому вся работа делается за счёт внутренней энергии — газ как бы «худеет» по энергии и остывает. А раз атомы остывают, они и бегают медленнее.

Первый закон термодинамики для адиабатного процесса ($Q=0$): $\;0=\Delta U + A$, откуда $\Delta U = -A$. Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\nu R T$, значит $\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T$. Тогда

$$\Delta T = \frac{\Delta U}{\tfrac{3}{2}\nu R} = \frac{-A}{\tfrac{3}{2}\nu R}.$$

Начальную температуру найдём из уравнения Менделеева — Клапейрона $pV=\nu R T_1$:

$$T_1=\frac{pV}{\nu R}=\frac{10^{5}\cdot 0{,}02}{1\cdot 8{,}31}\approx 240{,}7\ \text{К}.$$

Изменение температуры: $\Delta T = \dfrac{-500}{1{,}5\cdot 1\cdot 8{,}31}\approx -40{,}1\ \text{К}$, то есть $T_2\approx 200{,}6\ \text{К}$. Среднеквадратичная скорость связана с температурой формулой $v=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$. Считаем «до» и «после»:

$$v_1=\sqrt{\frac{3\cdot8{,}31\cdot240{,}7}{0{,}020}}\approx 548\ \text{м/с},\qquad v_2=\sqrt{\frac{3\cdot8{,}31\cdot200{,}6}{0{,}020}}\approx 500\ \text{м/с}.$$

Изменение скорости: $\Delta v = v_2 - v_1 \approx 500-548 = -48\ \text{м/с}$. Минус подтверждает: совершая работу в теплоизоляции, газ остыл, и атомы стали бегать примерно на $48$ м/с медленнее.